Question

【題目】如圖，點C在線段AB上，過點C作CD⊥AB，點E，F分別是AD，CD的中點，連結EF并延長EF至點G，使得FG=CB，連結CE，GB，過點B作BH∥CE交線段EG于點H．

（1）求證：四邊形FCBG是矩形．

（2）己知AB=10，．

①當四邊形ECBH是菱形時，求EG的長．

②連結CH，DH，記△DEH的面積為S1， △CBH的面積為S2．若EG=2FH，求S1+S2的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）① ②16或

【解析】

（1）由EF是中位線，得EF平行AB，即FG平行CB，已知FG=CB，由一組對邊平行且相等得四邊形FCBG是平行四邊形，又因為CD垂直AB，則四邊形FCBG是矩形.

（2）①因為EF平行AC，根據平行列比例式，設EF為3x, 由中位線性質，直角三角形的中線的性質，四邊形ECBH是菱形等條件，通過線段的長度轉化，最終把AC和BC用含x的關系式表示，由AB=8，列方程，求出x, 把EG也用含x的代數(shù)式表示，代入x值，即可求出EG的長.

②由EF是△ACD的中位線，得DF=CF，根據同底等高三角形面積相等，得△DEH和△CEH的面積相等，因為四邊形CEHB是平行四邊形，所以△CEH的面積和△BCH的面積相等，得到關系式：S1+S2=2S2，由EF+FH=FH+HG，得EF=HG，結合已知EG=2FH，得FH=2FG，設EF等于a, 把有關線段用含a的代數(shù)式表示，分兩種情況，即點H在FG上和點H在EF上，根據AB=10列關系式，求出a的值，再把S2用含a的代數(shù)式表示，代入a值即可.

（1）∵EF即是△ADC的中位線，

∴EF∥AC，即FG∥CB．

∵FG=CB，

∴四邊形FCBG是平行四邊形．

∵CD⊥AB，即∠FCB=90°，

∴四邊形FCBG是矩形．

（2）解：①∵EF是△ADC的中位線，

∴EF=AC，DF=CD，

∴

∴可設EF=3x，則DF=CF=4x，AC=6x．

∵∠EFC=90°，

∴CE=5x．

∵四邊形ECBH是菱形，

∴BC=EC=5x，

∴AB=AC+CB=6x+5x=10，

∴x=

∴EG=EF+FG=EF+BC=3x+5x=8x=；

②∵EH∥BC，BH∥CE，

∴四邊形ECBH是平行四邊形，

∴EH=BC，

又∵DF=CF，

∴S△DEH=S△CEH ，

∵四邊形ECBH是平行四邊形，

∴S△CEH=S△BCH

∴S1+S2=2S2 ．

∵EH=BC=FG，

∴EF=HG．

當點H在線段FG上時，如圖，

設EF=HG=a，∵EG=2FH，

∴EG=2FH=4a，AC=2EF=2a，

∴BC=FG=3a．

∴AB=AC+C=2a+3a=10，

∴a=2．

∵FC=AC=a，

∴S1+S2=2S2=2××3a×a=4a2=16．

當點H在線段EF上時，如圖．

設EH=FG=a，則HF=2a．

同理可得AC=6a，BC=a，FC=4a，

∴AB=6a+a=10，

∴a=

∴S1+S2=2S2=2××a×4a=4a2= ．

綜上所述，S1+S2的值是16或．