(1)操作發(fā)現(xiàn):

如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,且點(diǎn)在G矩形ABCD內(nèi)部.小明將BG延長交DC于點(diǎn)F,認(rèn)為GF=DF,你同意嗎?說明理由.

(2)問題解決:保持(1)中的條件不變,若DC=2DF,求值.

(3)類比探究: 保持(1)中的條件不變,若DC=n.DF,求的值(直接寫出答案)

 

【答案】

(1)同意;(2);(3)

【解析】

試題分析:(1)求簡單的線段相等,可證線段所在的三角形全等,即連接EF,證△EGF≌△EDF即可;

(2)可設(shè)DF=x,BC=y;進(jìn)而可用x表示出DC、AB的長,根據(jù)折疊的性質(zhì)知AB=BG,即可得到BG的表達(dá)式,由(1)證得GF=DF,那么GF=x,由此可求出BF的表達(dá)式,進(jìn)而可在Rt△BFC中,根據(jù)勾股定理求出x、y的比例關(guān)系,即可得到的值;

(3)方法同(2).

(1)連接EF,

根據(jù)翻折不變性得∠EGF=∠D=90°,EG=AE=ED,EF=EF,

∴Rt△EGF≌Rt△EDF,

∴GF=DF;

(2)設(shè)DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y

∵DC=2DF,

∴CF=x,DC=AB=BG=2x,

∴BF=BG+GF=3x;

在Rt△BCF中,BC+CF=BF,即y+x=(3x)

∴y=

(3)由(1)知,GF=DF,設(shè)DF=x,BC=y,則有GF=x,AD=y

∵DC=n?DF,

∴BF=BG+GF=(n+1)x

在Rt△BCF中,BC+CF=BF,即y+[(n-1)x]=[(n+1)x],

∴y=

考點(diǎn):矩形的性質(zhì),圖形的折疊變換,全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用

點(diǎn)評:此類問題綜合性強(qiáng),難度較大,在中考中比較常見,一般作為壓軸題,題目比較典型.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•岳陽)(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖①,D是等邊△ABC邊BA上一動點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF.你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
(2)類比猜想:如圖②,當(dāng)動點(diǎn)D運(yùn)動至等邊△ABC邊BA的延長線上時(shí),其他作法與(1)相同,猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如圖③,當(dāng)動點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動時(shí)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合)連接DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF、BF′,探究AF、BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系?并證明你探究的結(jié)論.
Ⅱ.如圖④,當(dāng)動點(diǎn)D在等邊△邊BA的延長線上運(yùn)動時(shí),其他作法與圖③相同,Ⅰ中的結(jié)論是否成立?若不成立,是否有新的結(jié)論?并證明你得出的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•河南)如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現(xiàn)
如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí),填空:
①線段DE與AC的位置關(guān)系是
DE∥AC
DE∥AC
;
②設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是
S1=S2
S1=S2


(2)猜想論證
當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí),小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn),BD=CD=4,DE∥AB交BC于點(diǎn)E(如圖4).若在射線BA上存在點(diǎn)F,使S△DCF=S△BDE,請直接寫出相應(yīng)的BF的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南昌)某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過程:
(1)操作發(fā)現(xiàn):在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖1所示,其中DF⊥AB于點(diǎn)F,EG⊥AC于點(diǎn)G,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,則下列結(jié)論正確的是
①②③④
①②③④
(填序號即可)
①AF=AG=
12
AB;②MD=ME;③整個(gè)圖形是軸對稱圖形;④MD⊥ME.
(2)數(shù)學(xué)思考:在任意△ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖2所示,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請給出證明過程;
(3)類比探究:
(i)在任意△ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,如圖3所示,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,試判斷△MED的形狀.答:
等腰直角三角形
等腰直角三角形

(ii)在三邊互不相等的△ABC中(見備用圖),仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內(nèi)側(cè)作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,要使(2)中的結(jié)論此時(shí)仍然成立,你認(rèn)為需增加一個(gè)什么樣的條件?(限用題中字母表示)并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)操作發(fā)現(xiàn):
如圖,有兩條長9cm,寬3cm的矩形重合后繞中心O旋轉(zhuǎn)的到ABCD,試判斷四邊形ABCD是什么特殊四邊形?并說明理由.
(2)嘗試探索:
在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形ABCD的最小面積是
9
9
cm2,
在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形ABCD的最大面積是多少?畫圖計(jì)算.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】:

如圖①,D是等邊△ABC邊BA上一動點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF.線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系是
AF=BD
AF=BD

(2)【類比猜想】:
如圖②,當(dāng)動點(diǎn)D運(yùn)動至等邊△ABC邊BA的延長線上時(shí),其他作法與(1)相同,猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立?并加以證明.
(3)【深入探究】
圖③,當(dāng)動點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動時(shí)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合)連接DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF、BF′,探究AF、BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系?并證明你探究的結(jié)論.

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同步練習(xí)冊答案