Question

【題目】在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點，過點A作AD⊥BP于點D，交直線BC于點Q．

（1）如圖1，當P在線段AC上時，求證：BP=AQ；
（2）如圖2，當P在線段CA的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？（填“成立”或“不成立”）
（3）在（2）的條件下，當∠DBA=度時，存在AQ=2BD，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，

∴∠DAP=∠CBP，

在△ACQ和△BCP中

∴△ACQ≌△BCP（ASA），

∴BP=AQ

（2）成立
（3）22.5°
【解析】（2.）成立，
理由：延長BA交PQ于H，

∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中，
∴△AQC≌△BPC（ASA），
∴AQ=BP，
所以答案是：成立；
（3.）當∠DBA=22.5°時，存在AQ=2BD，
理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC與△QAC中， ，
∴△PBC≌△ACQ，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
所以答案是：22.5°