Question

【題目】已知二次函數 ．
（1）求證：不論k為任何實數，該函數的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）若該二次函數的圖象與x軸的兩個交點在點A（1，0）的兩側，且關于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數根，求k的整數值；
（3）在（2）的條件下，關于x的另一方程x2+2（a+k）x+2a﹣k2+6k﹣4=0 有大于0且小于3的實數根，求a的整數值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：x2+kx+ k﹣ =0，

△1=b2﹣4ac=k2﹣4（ k﹣ ）

=k2﹣2k+14

=k2﹣2k+1+13

=（k﹣1）2+13＞0，

∴不論k為任何實數，該函數的圖象與x軸必有兩個交點

（2）

解：∵二次函數y=x2+kx+ k﹣ 的圖象與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側，且二次函數開口向上，

∴當x=1時，函數值y＜0，

即1+k+ k﹣ ＜0，

解得：k＜ ，

∵關于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數根，

∴k≠0且△2=b2﹣4ac=（2k+3）2﹣4k2=4k2+12k+9﹣4k2=12k+9＞0，

∴k＞﹣ 且k≠0，

∴﹣ ＜k＜ 且k≠0，

∴k=1

（3）

解：由（2）可知：k=1，

∴x2+2（a+1）x+2a+1=0，

解得x1=﹣1，x2=﹣2a﹣1，

根據題意，0＜﹣2a﹣1＜3，

∴﹣2＜a＜﹣ ，

∴a的整數值為﹣1

【解析】（1）表示出方程：x2+kx+ k﹣ =0的判別式，即可得出結論；（2）二次函數的圖象與x軸的兩個交點在點A（1，0）的兩側，則可得當x=1時，函數值y＜0，再由關于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數根，可得出k的取值范圍，從而得出k的整數值；（3）將求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根據方程有大于0且小于3的實數根，可得出a的取值范圍，繼而得出a的整數值．