Question

1、已知x+y+z=xyz，證明：x（1-y²）（1-z²）+y（1-x²）（1-z²）+z（1-x²）（1-y²）=4xyz．

Answer 1

分析：將左邊展開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡成右邊即可．

解答：證明：∵x+y+z=xyz，
∴左邊=x（1-z²-y²-y²z²）+y（1-z²-x²+x²z²）+（1-y²-x²+x²y²）
=（x+y+z）-xz²-xy²+xy²z²-yz²+yx²+yx²z²-zy²-zx²+zx²y²
=xyz-xy（y+x）-xz（x+z）-yz（y+z）+xyz（xy+yz+zx）
=xyz-xy（xyz-z）-xz（xyz-y）-yz（xyz-x）+xyz（xy+yz+zx）
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz=右邊．
∴x（1-y²）（1-z²）+y（1-x²）（1-z²）+z（1-x²）（1-y²）=4xyz．

點(diǎn)評：此題主要考查了整式的等式證明．本例的證明思路就是“由繁到簡”，注意整體思想的應(yīng)用．