Question

（2011•衢州）已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（﹣3，0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y正半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線l₂交于點(diǎn)K，如圖所示．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸被直線l₁，拋物線，直線l₂和x軸依次截得三條線段，問(wèn)這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)直線l₂繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請(qǐng)找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡(jiǎn)述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）解法1：由題意易知：△BOC∽△COA，
∴，
即，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，），
由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，
把A（1，0），B（﹣3，0）的坐標(biāo)分別代入，
得，
解這個(gè)方程組，得，
∴拋物線的函數(shù)解析式為．
解法2：由勾股定理，得（OC²+OB²）+（OC²+OA²）=BC²+AC²=AB²，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，），
由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入
函數(shù)解析式得，
所以，拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）解法1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF．
理由如下：
可求得直線l₁的解析式為，直線l₂的解析式為，
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為（﹣1，），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴KD=，DE=，EF=，
∴KD=DE=EF．
解法2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF，
理由如下：
由題意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
則可得，，
由頂點(diǎn)D坐標(biāo)（﹣1，）得，
∴KD=DE=EF=；

（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時(shí)，△MCK為等腰三角形．
理由如下：
（i）連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣2，），
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），則GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，
∴△CGK為正三角形
∴當(dāng)l₂與拋物線交于點(diǎn)G，即l₂∥AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（﹣2，），
（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，
∴當(dāng)l₂過(guò)拋物線頂點(diǎn)D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M₂坐標(biāo)為（﹣1，），
（iii）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM=CK，
但點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）時(shí)，△MCK為等腰三角形．

解析