Question

在一節(jié)數(shù)學(xué)實踐活動課上，老師拿出三個邊長都為5cm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個問題：若將三個正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)有多大？問題提出后，同學(xué)們經(jīng)過討論，大家覺得本題實際上就是求將三個正方形硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，圓形硬紙板能蓋住時的最小直徑．老師將同學(xué)們討論過程中探索出的三種不同擺放類型的圖形畫在黑板上，如下圖所示：
（1）通過計算（結(jié)果保留根號與π）．
（Ⅰ）圖①能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應(yīng)為

 

cm；
（Ⅱ）圖②能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為

 

cm；
（Ⅲ）圖③能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為

 

cm；
（2）其實上面三種放置方法所需的圓形硬紙板的直徑都不是最小的，請你畫出用圓形硬紙板蓋住三個正方形時直徑最小的放置方法，（只要畫出示意圖，不要求說明理由），并求出此時圓形硬紙板的直徑．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）連接正方形的對角線BD，利用勾股定理求出BD的長即可；
（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形對角線的長即可；
（Ⅲ）找出過A、B、C三點的圓的圓心及半徑，利用勾股定理求解即可；
（2）連接OB，ON，延長OH交AB于點P，則OP⊥AB，P為AB中點，設(shè)OG=x，則OP=10-x，再根據(jù)勾股定理解答．

解答：解：（1）（Ⅰ）連接BD，

∵AD=3×5=15cm，AB=5cm，
∴BD=

152+52

=5

10

cm；
（Ⅱ）如圖所示，

∵三個正方形的邊長均為5，
∴A、B、C三點在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓上，
∴OA=

52+52

=5

2

cm，
∴能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10

2

cm；
（Ⅲ）如圖所示，

∵CE⊥AB，AC=BC，
∴CE是過A、B、C三點的圓的直徑，
∵OA=OB=OD，
∴O為圓心，
∴⊙O的半徑為OA，
OA=

52+52

=5

2

cm，
∴能蓋住三個正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為5

2

×2=10

2

cm；
（2）如圖④為蓋住三個正方形時直徑最小的放置方法，（5分）

連接OB，ON，延長OH交AB于點P，則OP⊥AB，P為AB中點，
設(shè)OG=x，則OP=10-x，
則有：x2+52=(10-x)2+(

5

2

)2，（7分）
解得：x=

65

16

，（8分）
則ON=

52+( 65 16 )2

=

25 17

16

，
∴直徑為

25 17

8

．（9分）

點評：此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是找出找出以各邊頂點為頂點的圓的圓心及半徑，再根據(jù)勾股定理解答．