Question

如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，AB表示A點和B點之間的距離，且a、b滿足|a+2|+（b+3a）²=0
（1）求A、B兩點之間的距離；
（2）若在數(shù)軸上存在一點C，且AC=2BC，求C點表示的數(shù)；
（3）若在原點O處放一擋板，一小球甲從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時另一小球乙從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為t（秒），
①分別表示甲、乙兩小球到原點的距離（用t表示）；
②求甲、乙兩小球到原點的距離相等時經歷的時間．

Answer 1

解：（1）∵|a+2|+（b+3a）²=0，
a+2=0，b+3a=0，
∴a=-2，b=6；
∴AB的距離=|b-a|=8；

（2）設數(shù)軸上點C表示的數(shù)為c．
∵AC=2BC，
∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．
∵AC=2BC＞BC，
∴點C不可能在BA的延長線上，則C點可能在線段AB上和線段AB的延長線上．
①當C點在線段AB上時，則有-2≤c≤6，
得c+2=2（6-c），解得c=；
②當C點在線段AB的延長線上時，則有c＞6，
得c+2=2（c-6），解得c=14．
故當AC=2BC時，c=或c=14；

（3）①∵甲球運動的路程為：1•t=t，OA=2，
∴甲球與原點的距離為：t+2；
乙球到原點的距離分兩種情況：
（Ⅰ）當0＜t≤3時，乙球從點B處開始向左運動，一直到原點O，
∵OB=6，乙球運動的路程為：2•t=2t，
∴乙球到原點的距離為：6-2t；
（Ⅱ）當t＞3時，乙球從原點O處開始一直向右運動，
此時乙球到原點的距離為：2t-6；
②當0＜t≤3時，得t+2=6-2t，
解得t=；
當t＞3時，得t+2=2t-6，
解得t=8．
故當t=秒或t=8秒時，甲乙兩小球到原點的距離相等．
分析：（1）先根據非負數(shù)的性質求出a、b的值，再根據兩點間的距離公式即可求得A、B兩點之間的距離；
（2）分C點在線段AB上和線段AB的延長線上兩種情況討論即可求解；
（3）①甲球到原點的距離=甲球運動的路程+OA的長，乙球到原點的距離分兩種情況：（Ⅰ）當0＜t≤3時，乙球從點B處開始向左運動，一直到原點O，此時OB的長度-乙球運動的路程即為乙球到原點的距離；（Ⅱ）當t＞3時，乙球從原點O處開始向右運動，此時乙球運動的路程-OB的長度即為乙球到原點的距離；
②分兩種情況：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根據甲、乙兩小球到原點的距離相等列出關于t的方程，解方程即可．
點評：本題考查了非負數(shù)的性質，方程的解法，數(shù)軸，兩點間的距離，有一定難度，運用分類討論思想、方程思想及數(shù)形結合思想是解題的關鍵．