Question

（2006•北京）已知：關(guān)于x的方程mx²-14x-7=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂，關(guān)于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有兩個實數(shù)根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4．當+2（2y₁-y₂²）+14=0時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由于兩個方程都有根，可以利用它們的判別式△求出m，n的取值范圍．再由根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件得出m，n的關(guān)系式，
解答：解：∵方程mx²-14x-7=0有兩個實數(shù)根，則△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，①
∵方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有兩個實數(shù)根，則△=4（n-1）²-4（n²-2n）=4＞0，
分解因式得，（y-n+2）（y-n）=0，
∴y₁=n-2，y₂=n，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n-2＜n≤4，
解得，0≤n≤4，
∵x₁+x₂=，x₁x₂=-，
∴+2（2y₁-y₂²）+14=0變形為
++2[2（n-2）-n²]+14=0，
化簡得，m=2n²-4n-6．
由二次函數(shù)的圖象知，
當0≤n≤4時，-8≤m≤10，②
由①②得：-7≤m≤10，且m≠0．
點評：本題利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式及用圖象來解題，正確確定m、n的范圍是解決本題的關(guān)鍵．