Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線BD上，以O(shè)D的長為半徑的⊙O與AD，BD分別交于點E、點F，且∠ABE=∠DBC．
（1）判斷直線BE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若sin∠ABE=

3

3

，CD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證∠BEO=90°，即可得出直線BE與⊙O相切；
（2）連接EF，先根據(jù)已知條件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的長，設(shè)出⊙O的半徑為r，利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．

解答：解：（1）直線BE與⊙O相切（1分）
證明：連接OE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
又∵∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE=∠OED，（2分）
∵矩形ABDC，∠A=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠OED+∠AEB=90°，
∴∠BEO=90°，（3分）
∴直線BE與⊙O相切；

（2）連接EF，
方法1：
∵四邊形ABCD是矩形，CD=2，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2，
∵∠ABE=∠DBC，
∴sin∠CBD=sin∠ABE=

3

3

，
∴BD=

DC

sin∠CBD

=2

3

，（4分）
在Rt△AEB中，
∵CD=2，
∴BC=2

2

，
∵tan∠CBD=tan∠ABE，
∴

DC

BC

=

AE

AB

，
∴

2

2 2

=

AE

2

，
∴AE=

2

∴勾股定理求得BE=

6

，
在Rt△BEO中，∠BEO=90°EO²+EB²=OB²，
設(shè)⊙O的半徑為r，
則r2+(

6

)2=(2

3

-r)2，
∴r=

3

2

，（5分）
方法2：∵DF是⊙O的直徑，
∴∠DEF=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD=2，
∵∠ABE=∠DBC，
∴sin∠CBD=sin∠ABE=

3

3

，
設(shè)DC=x，BD=

3

x，則BC=

2

x，
∵CD=2，
∴BC=2

2

，（4分）
∵tan∠CBD=tan∠ABE，
∴

DC

BC

=

AE

AB

，
∴

2

2 2

=

AE

2

，
∴AE=

2

∴E為AD中點．
∵DF為直徑，∠FED=90°，
∴EF∥AB，
∴DF=

1

2

BD=

3

，
∴⊙O的半徑為

3

2

．（5分）

點評：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點，具有較強的綜合性，有一定的難度．