Question

如圖1，直線y=x+4及直線y=-2x+4與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)．
（1）若過C點(diǎn)直線L平分△ABC的面積，求直線L的解析式．
（2）如圖2，以BC為斜邊作等腰直角△BCD，求四邊形ABDC的面積．
（3）如圖3，M為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AC交BC于點(diǎn)N，當(dāng)△CMN的面積為3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)y=0時(shí)可以求出x的值，從而可以求出A、B的坐標(biāo)，求出AB的值，由過點(diǎn)C的直線平分△ABC的面積，可以得出直線L經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以直接求出L的解析式；
（2）由條件由勾股定理BC的值，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出DC、BD的值，分別求出△ABC和△BCD的面積就可以求出四邊形ABDC的面積；
（3）由條件MN∥AC可以得出△ABC∽△MBN，就可以得出(

MB

AB

)2=

S△MBN

S△ABC

，通過求出△ABC的面積就可以求出MB的值，就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，
y=4．
∴C（0，4）．
∴OC=4
當(dāng)y=0時(shí)，則
0=x+4，0=-2x+4，
∴x=-4或x=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
∴OA=4，OB=2，
∴AB=6．
∵過C點(diǎn)直線L平分△ABC的面積，
∴L經(jīng)過AB的中點(diǎn)E，
∴AE=3，
∴E（-1，0）．
設(shè)L的解析式為y=kx+b，由題意，得

4=b 0=-k+b

，
解得：

k=4 b=4

，
∴直線L的解析式為：y=4x+4．
（2）在Rt△BOC中，由勾股定理，得
BC=

16+4

=2

5

，
設(shè)DC=x，則BD=x，在Rt△BCD中，由勾股定理，得
2x²=20，
x²=10．
∴S_△BCD=

1

2

x²=5．
∵S△ABC=

4×6

2

=12，
∴S_{四邊形ABDC}=5+12=17．
（3）作MG∥BC交AC于G，則四邊形MNCG是平行四邊形，
∵△CMN的面積為3，
∴S_{平行四邊形MNCG}=6，S_△AMG+S_△MBN=S_△ABC-S_{平行四邊形MNCG}=12-6=6，
設(shè)BM=x，則AM=6-x，
∵M(jìn)N∥AC，
∴△ABC∽△MBN，
∴

SMBN

S△ABC

=（

MB

AB

）²=（

x

6

）²=

x2

36

…①，
同理：

S△AMC

S△ABC

=

(6-x)2

36

…②，
①+②得：

6

12

=

x2

36

+

(6-x)2

36

，
解得：x=3，
∵B（2，0），即OB=2，
∴OM=1，
則M的坐標(biāo)是（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得MB的長度是關(guān)鍵．