Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）相切；（2）4

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EAD＝∠OAD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠ODA＝EAD，即可證得EA∥OD，再結(jié)合DE⊥AC即可證得結(jié)論；

（2）作DF⊥AB，垂足為F，先證得△EAD≌△FAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝AE＝8，DF＝DE，再在Rt△DOF中，根據(jù)勾股定理求得DF的長，即可求得結(jié)果.

（1）直線DE與⊙O相切．

連接OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠OAD．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．

∴∠ODA＝EAD．

∴EA∥OD． 

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD．

又∵點D在⊙O上，

∴直線DE與⊙O相切；

（2）作DF⊥AB，垂足為F．

∴∠DFA＝∠DEA＝90°．

∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，

∴△EAD≌△FAD．

∴AF＝AE＝8，DF＝DE．

∵OA＝OD＝5，

∴OF＝3．

在Rt△DOF中，DF＝＝4．

∴DE＝DF＝4．

考點：角平分線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

點評：本題知識點較多，是小綜合題，在中考中比較常見，一般難度不大.