Question

設p為素數(shù)，k是正整數(shù)．求證：方程x²+px+kp-1=0至少有一個整數(shù)根的充分必要條件是k=1．

Answer 1

分析：運用根與系數(shù)的關系，得出p與方程根的關系，利用整除性得出方程x²+px+kp-1=0至少有一個整數(shù)根的充分必要條件是k=1．

解答：解：充分性，若k=1，則方程有兩個整數(shù)根，x₁=1，x₂=p-1；
必要性，設方程x²+px+kp-1=0有整數(shù)解x₁和另一根x₂，由根與系數(shù)的關系得：
x₁+x₂=-p，x₁x₂=kp-1．①
由①知x₂也是整數(shù)根，假設k＞1，
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=（k-1）p，②
因為p為素數(shù)，k-1＞0，由②得：p/x₁+1，或p/x₂+1，
不妨設p/x₁+1，則有

x1+1=±m(xù)p x2+ 1=± k-1 m

其中m為正整數(shù)，且m整除k-1
由上式相加得：x₁+x₂+2=±（mp+

k-1

m

）．
由①得：-p+2=±（mp+

k-1

m

）③
若③中右邊取正號，則有
（m+1）p+

k-1

m

=2，
顯然，此式左邊大于2，矛盾，若③中右邊取負號，則有
（m-1）p+2+

k-1

m

=0
此式左邊大于0，矛盾．
因此，k=1．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系和素數(shù)以及方程整數(shù)根的性質，綜合性較強．