Question

【題目】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按圖放置，使點(diǎn)E在BC上，取DF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、CG．
（1）請?zhí)砑右粭l輔助線，構(gòu)造一個和△FEG全等的三角形，并證明它們?nèi)�等�?/span>
（2）探索EG、CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】解：（1）延長EG交CD于點(diǎn)H，如圖，則△DHG≌△FEG．證明如下：
∵∠BEF=90°，
∴EF⊥BC，
而CD⊥BC，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠2，
∵點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，
∴DG=FG，
在△DHG和△FEG中，
，
∴△DHG≌△FEG（ASA）；
（2）EG=CG，EG⊥CG．證明如下：
∵△DHG≌△FEG，
∴EF=DH，EG=HG，
∵BE=EF，
∴BE=DH，
∵CB=CD，
∴CD﹣DH=CB﹣BE，即CH=CE，
∴△CHE為等腰直角三角形，
∵EG=GH，
∴CG⊥EH，CG=EG=GH，
即EG=CG，EG⊥CG．

【解析】（1）延長EG交CD于點(diǎn)H，如圖，先證明EF∥CD，則∠1=∠2，再由點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)得到DG=FG，然后利用“ASA”判斷△DHG≌△FEG；
（2）由△DHG≌△FEG得到EF=DH，EG=HG，而BE=EF，所以BE=DH，根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，則CH=CE，于是可判斷△CHE為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG⊥EH，CG=EG=GH，即EG=CG，EG⊥CG．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．