Question

已知∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，且PO=4，M、N分別是OA、OB上的動點，則△PMN周長的最小值是

4

2

．

Answer 1

分析：作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對稱的性質可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．

解答：解：作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．
連接CO、PO、DO，
∵PC關于OA對稱，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD=OP=4．
∴△COD是等腰直角三角形．
則CD=

2

OC=

2

×4=4

2

．
故答案為：4

2

．

點評：本題考查了對稱的性質，正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．