Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，以AB為直徑的⊙C交x軸于A，交y軸于B，滿足OA：OB=4：3，以O(shè)C為直徑作⊙D，設(shè)⊙D的半徑為2．
（1）求⊙C的圓心坐標(biāo)；
（2）過C作⊙D的切線EF交x軸于E，交y軸于F，求直線EF的解析式；
（3）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸過C點(diǎn)，頂點(diǎn)在⊙C上，與y軸交點(diǎn)為B，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）⊙C以AB為直徑，則C為Rt△OAB中斜邊AB的中點(diǎn)，易知OC=4，那么AB=2OC=8；由OA、OB的比例關(guān)系，易知∠BAO的正切值，通過解直角三角形即可求得OB、OA的長，進(jìn)而可求出A、B的坐標(biāo)，也就能得到C點(diǎn)的坐標(biāo)（若過C分別作OA、OB的垂線，由垂徑定理即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)）；
（2）由（1）知OC是Rt△OAB斜邊AB的中線，則BC=OC=AC，可得到∠BOC=∠CBO，∠COA=∠CAO；由此可證得Rt△AOB、Rt△OCE、Rt△FCO都相似，根據(jù)OC的長和相似三角形的比例線段即可求得OE、OF的長，也就得到了E、F的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式；
（3）拋物線的對稱軸過C點(diǎn)，且頂點(diǎn)在⊙C上，根據(jù)⊙C的半徑及C點(diǎn)坐標(biāo)，易求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，又已知了B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（注意要分兩種情況：①拋物線開口向上，②拋物線開口向下）

解答：解：（1）∵OA⊥OB，OA：OB=4：3，⊙D的半徑為2
∴⊙C過原點(diǎn)，OC=4，AB=8
A點(diǎn)坐標(biāo)為（

32

5

，0）B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

24

5

）
∴⊙C的圓心C的坐標(biāo)為（

16

5

，

12

5

）（3分）

（2）由EF是⊙D的切線，
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO
∴Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO
∴

OE

AB

=

OC

OA

，

OF

AB

=

OC

OB

∴OE=5，OF=

20

3

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)（0，

20

3

）
∴切線EF的解析式為y=-

4

3

x+

20

3

；（7分）

（3）①當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，由題意，得
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

16

5

，

12

5

+4），
可得：-

b

2a

=

16

5

，

4ac-b2

4a

=

32

5

，c=

24

5

∴a=-

5

32

，b=1，c=

24

5

，
∴y=-

5

32

x²+x+

24

5

；（10分）
②當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

16

5

，

12

5

-4），
可得：-

b

2a

=

16

5

，

4ac-b2

4a

=-

8

5

，c=

24

5

，
∴y=

5

8

x²-4x+

24

5

；
綜上所述，拋物線解析式為：
y=-

5

32

x²+x+

24

5

或y=

5

8

x²-4x+

24

5

．（12分）
注：其他解法參照以上評分標(biāo)準(zhǔn)評分

點(diǎn)評：此題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．