Question

如圖，在平面直角坐標系內，點0為坐標原點，經過點A（2，6）的直線交x軸負半軸于點B，交y軸于點C，OB=OC，直線AD交x軸正半軸于點D，若△ABD的面積為27．
（1）求直線AD的解析式；
（2）橫坐標為m的點P在AB上（不與點A，B重合），過點P作x軸的平行線交AD于點E，設PE的長為y，求y與m之間的函數關系式并直接寫出相應的m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使△PEF為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點A作AG⊥x軸于點G，
∵A（2，6），
∴OG=2，AG=6．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵∠COB=90°，∠COB+∠OBC+∠OCB=180°，

∴∠OBC=∠OCB=45°．
∵∠COB=∠AGB=90°，
∴CO∥AG．
∴∠BAG=∠OCB=∠OBC═45°
∴BG=AG=6，
∴OB=4，
∴B（-4，0）
∵=27，
∴BD=9
∴OD=5，
∴D（5，0）
設直線AD的解析式為y=kx+b
∵A（2，6）D（5，0），
∴，
解得：，
∴直線AD的解析式為y=-2x+10；
（2）過點P作PH⊥BD，點H為垂足
∠BPH=180°-∠ABO-∠PHB=45°

∴∠BPH=∠PBH，
∴PH=HB．
設AB的解析式為：y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=x+4．
∵OB=4，點P的橫坐標為m
∴PH=HB=m+4．
∵PE∥x軸，
∴點E的縱坐標為m+4．
∵點E在直線 y=-2x+10上，
∴m+4=-2x+10，
∴x=3-，
∴點E的橫坐標為3-．
∵點P的橫坐標為m，
∴y=3--m，
=
∴m的取值范圍為-4＜m＜2；
（3）在x軸上存在點F，使△PEF為等腰直角三角形，

①當∠FPE=90°時，有PF=PE，PF=m+4 PE=，
∴=m+4
解得m=-此時F（-，0）；
②當∠FPE=90°時，有EP=EF，EF的長等于點E的縱坐標，

∴EF=m+4，
∴=m+4，
解得：m=-．
∴點E的橫坐標為3-=3-（-=，
∴F（，0）；
③當∠PFE=90°時 FP=FE，
∴∠FPE=∠FEP．
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，
∴∠FPE=∠FEP=45°．
作FR⊥PE，點R為垂足，

∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，
∴∠PFR=∠RPF，
∴FR=PR．
同理FR=ER，
∴FR=PE．
∵點R與點E的縱坐標相同，
∴FR=m+4，
∴m+4=（），
解得：m=，
∴PR=FR=m+4=+4=，
∴點F的橫坐標為+=，
∴F（，0）．
綜上，在x軸上存在點F使△PEF為等腰直角三角形，點F的坐標為（-，0）或（，0）或（，0）．
分析：（1）過點A作AG⊥x軸于點G，根據等腰三角形的性質就可以B點的坐標，再根據三角形的面積建立方程求出BD的值，求出OD的值，從而求出D點的坐標，直接根據待定系數法求出AD的解析式；
（2）先根據B、A的坐標求出直線AB的解析式，將P點的橫坐標代入直線AB的解析式，求出P的總坐標，將P點的總坐標代入直線AD的解析式就可以求出E的橫坐標，根據線段的和差關系就可以求出結論；
（3）要使△PEF為等腰直角三角形，分三種情況分別以點P、E、F為直角頂點，根據等腰直角三角形的性質求出（2）中m的值，就可以求出F點的坐標．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，三角形的面積公式的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，解答本題時求出函數的解析式是關鍵．