已知△ABC,AC=BC,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)F在BD上,連接CF,AM⊥CF于點(diǎn)M,AM交CD于點(diǎn)E.
(1)如圖1,當(dāng)∠ACB=90°時(shí),求證:DE=DF;
(2)如圖2,當(dāng)∠ACB=60°時(shí),DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______
(3)在2的條件若tan∠EAF=數(shù)學(xué)公式,EM=數(shù)學(xué)公式,連接EF,將∠DEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后角的兩邊交線段CF于N、G兩點(diǎn),交線段BC于P、T兩點(diǎn)(如圖3),若CN=3FN,求線段GT的長.

解:(1)∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠BAC=45°,
∵CD⊥AB,
∴∠ACD=45°,∠DFC+∠DCF=90°,
∴AD=CD,
∵AM⊥CF,
∴∠DFC+∠FAM=90°,
∴∠DCF=∠FAM,
∴△ADE≌△CDF,
∴DE=DF;

(2)∵∠ACB=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=30°,
=Ctan30°=,
∵∠ADE=∠FDC,∠DAE=∠DCF,
∴△ADE∽△CDF,
==,
∴DF=DE;

(3)∵tan∠EAF=tan∠ECM=,EM=,
∴EC=3,
設(shè)DE=x,則AD=4x,CD=4x,CE=3x,
∴x=1,
∴AD=4,DE=,AE=,AB=8,
==,
∴EP∥AB,
∵DF=DE,
∴∠PET=60°,
∴△EPT為等邊三角形,
∴EG∥AC,
=,
∴EG=,
==,
∴EP=ET=3,
∴GT=ET-GT=;
分析:(1)此題需先根據(jù)已知條件得出AD=CD,∠DCF=∠FAM,∠ADE=∠FDC,再根據(jù)AAS證出△ADE≌△CDF,即可得出DE=DF;
(2)根據(jù)∠ACB=60°,得出△ABC是等邊三角形,從而得出∠ACB=30°,=Ctan30°=,再根據(jù)△ADE∽△CDF,得出=的值,即可得出DE與DF的數(shù)量關(guān)系;
(3根據(jù)已知條件得出EC的值,再設(shè)DE=x,則AD=4x,CD=4x,CE=3x,求出x的值,根據(jù)==,得出EP∥AB,從而證出△EPT為等邊三角形,求出EG的值,從而得出EP=ET=3,即可求出線段GT的長.
點(diǎn)評:此題考查了等腰直角三角形,全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)值,平行線分線段成比例等知識點(diǎn);是一道綜合題,解題時(shí)要注意有關(guān)知識的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90度.O是AB的中點(diǎn),⊙O與AC相切于點(diǎn)D、與BC相切于點(diǎn)E.設(shè)⊙O交OB于F,連DF并延長交CB的延長線于G.
(1)∠BFG與∠BGF是否相等?為什么?
(2)求由DG、GE和弧ED所圍成圖形的面積.(陰影部分)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90°.O是AB的中點(diǎn),⊙O與AC,BC分別相切于點(diǎn)D與點(diǎn)E.點(diǎn)F是⊙O與AB精英家教網(wǎng)的一個(gè)交點(diǎn),連DF并延長交CB的延長線于點(diǎn)G.則CG=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

17、如圖,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以點(diǎn)C為圓心作⊙C,半徑為r.
(1)當(dāng)r取什么值時(shí),點(diǎn)A、B在⊙C外.
(2)當(dāng)r在什么范圍時(shí),點(diǎn)A在⊙C內(nèi),點(diǎn)B在⊙C外.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•西湖區(qū)一模)如圖,已知△ABC,AC=BC,∠C=90°.O是AB的中點(diǎn),⊙O與AC,BC分別相切于點(diǎn)D與點(diǎn)E.點(diǎn)F是⊙O與AB的一個(gè)交點(diǎn),連DF并延長交CB的延長線于點(diǎn)G.則∠CDG=
67.5°
67.5°
,若AB=4
2
,則BG=
2
2
-2
2
2
-2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•香坊區(qū)模擬)已知△ABC,AC=BC,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)F在BD上,連接CF,AM⊥CF于點(diǎn)M,AM交CD于點(diǎn)E.
(1)如圖1,當(dāng)∠ACB=90°時(shí),求證:DE=DF;
(2)如圖2,當(dāng)∠ACB=60°時(shí),DE與DF的數(shù)量關(guān)系是
DF=
3
DE
DF=
3
DE

(3)在2的條件若tan∠EAF=
3
4
,EM=
9
19
19
,連接EF,將∠DEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后角的兩邊交線段CF于N、G兩點(diǎn),交線段BC于P、T兩點(diǎn)(如圖3),若CN=3FN,求線段GT的長.

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