Question

二次函數(shù)：y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）圖象頂點的縱坐標不大于-．
（1）求該二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標的取值范圍；
（2）若該二次函數(shù)圖象與x軸交于A，B兩點，求線段AB長度的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）的頂點的縱坐標，根據(jù)題意得出≥3，即可得出該二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標的取值范圍；
（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），則x₁、x₂是方程ax²-bx+b=0的兩根，由求根公式得出x₁、x₂，根據(jù)AB=|x₂-x₁|求出線段AB長度的最小值．
解答：解：（1）由于y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）圖象的頂點的縱坐標為，
則≤-，得≥3，
所以，該二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標x=≥3，
即x≥3；

（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
則方程ax²-bx+b=0的兩根，
得x₁=，x₂=，
從而AB=|x₂-x₁|=
=
=
由（1）知≥6．
由于當(dāng)≥6時，隨著的增大，也隨著增大，
所以=6時，線段AB長度的最小值為=2．
點評：本題是一道綜合性的題目，考查了拋物線與x軸的交點問題以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是中考壓軸題，難度較大．