Question

6．如圖，在△ABC中，BC＞AC，點D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于點F，點E是AB的中點，連接EF．
（1）求證：△AEF∽△ABD；
（2）填空：
①若BC=8，AC=5，則EF=1.5；
②若四邊形BDFE的面積為6，則△ABD的面積為8．

Answer 1

分析 （1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質得到點F是AD的中點，然后得到EF是△ABD的中位線，進而可證明△AEF∽△ABD；
（2）①因為EF是△ABD的中位線，所以BD=2EF，求出BD的長即可得到EF的長；②根據（1）證得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求的△ABD的面積．

解答 17．（1）證明：
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
又∵DC=AC，
∴CF是△ACD的中線，
∴點F是AD的中點，
又∵E是AB的中點，
∴EF是△ABD的中位線，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD；
（2）①∵EF是△ABD的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD，
∵BC=8，AC=5，DC=AC，
∴BD=BC-CD=3，
∴EF=1.5，
故答案為1.5；
②∵△AEF∽△ABD，
∴S_△AEF：S_△ABD=1：4，
∴S_△AEF：S_{四邊形BDFE}=1：3，
∵四邊形BDFE的面積為6，
∴S_△AEF=2，
∴S_△ABD=S_△AEF+S_{四邊形BDFE}=2+6=8，
故答案為：8．

點評 本題主要考查等腰三角形的判定和性質、三角形中位線的定義和性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵在于求證EF為中位線，S_△AEF：S_△ABD=1：4．