Question

如圖，A、B是直線a上的兩個定點，點C、D在直線b上運動（點C在點D的左側(cè)），AB=CD=6cm，已知a∥b，連接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折疊得△A₁BC．
問題1：當(dāng)A₁、D兩點重合時，則AC=

 

cm；
問題2：當(dāng)A₁、D兩點不重合時，連接A₁D，可探究發(fā)現(xiàn)A₁D∥BC，
下面是小明的思考：
（1）將△ABC沿BC翻折，點A關(guān)于直線BC的對稱點為A₁，連接AA₁交BC所在直線于點M，由軸對稱的性質(zhì)，得AM=A₁ M，這一關(guān)系在變化過程中保持不變；
（2）因為四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)對角線的交點是O，易知AO=DO，這一關(guān)系在變化過程中也保持不變．
請你借助于小明的思考，說明AD₁∥BC的理由；
問題3：當(dāng)A₁、D兩點不重合時，若直線a、b間的距離為

5

cm，且以點A₁、C、B、D為頂點的四邊形是矩形，求AC的長．

Answer 1

分析：問題1：首先得出四邊形ABCD為平行四邊形，進(jìn)而得出四邊形ABCD為菱形，求出答案即可；
問題2：由題意可得：AM=A₁M，AO=DO，得出M和O分別為AA₁和AD的中點，即可得出MO為△AA₁M的中位線，求出即可；
問題3：分別利用當(dāng)四邊形A₁CBD是矩形，當(dāng)四邊形CBA₂D是矩形，當(dāng)四邊形CBDA₃是矩形，分別求出AC的長即可．

解答：解：問題1：
BC為折痕，則BC垂直平分AA₁，
當(dāng)A₁與D重合，即BC⊥AD，
又∵AB=CD，a∥b，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC=CD，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴AC=6cm，
故答案為：6；

問題2：如圖1，由題意可得：AM=A₁M，AO=DO，
∴M和O分別為AA₁和AD的中點，
∴MO為△AA₁M的中位線，
即A₁D∥MO，即A₁D∥BC；

問題3：如圖2，過點C作CE⊥AB，垂足為點E，
當(dāng)四邊形A₁CBD是矩形，
∴∠ACB=∠A₁CB=90°，
∵CE⊥AB于點E，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE，
∴

CE

BE

=

AE

CE

，
即CE²=AE×BE，（直接用射影定理亦可），
設(shè)AE=x，則（

5

）²=x（6-x），
解得x₁=1，x₂=5，
∴AC=

( 5 )2+12

=

6

（cm）；

如圖3，當(dāng)四邊形CBA₂D是矩形，
∴CD=BA=6cm，BC=

5

cm，
∴A₂C=

62+( 5 )2

=

41

（cm）；

如圖4，當(dāng)四邊形CBDA₃是矩形，
過點C作CE⊥AB于點E，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAE=∠ECB，
又∵∠AEC=∠BEC，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE，
∴

CE

BE

=

AE

CE

，
即CE²=AE×BE，（直接用射影定理亦可），
設(shè)BE=x，則（

5

）²=x（6-x），
解得x₁=1，x₂=5，
∴BE=1，
∴BC=

6

，
∴A₃C=

AB2-BC2

=

30

，
綜上所述：以點A₁、C、B、D為頂點的四邊形是矩形，AC的長為

6

cm或

41

cm或

30

cm．

點評：此題主要考查了幾何變換以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．