Question

如圖，已知AD是△ABD和△ACD的公共邊．求證：∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C

Answer 1

答案：
解析：

證法一 　　分析：∠BDC＝360°－∠1－∠2，∠1，∠2分別在△ABD和△ACD中，∠1＝180°－∠3－∠B，∠2＝180°－∠4－∠C，可得∠BDC＝360°－(180°－∠3－∠B)－(180°－∠4－∠C)．再由∠3＋∠4＝∠BAC，化簡(jiǎn)即可得到證明． 　　證明：∵在△ABD中，∠1＝180°－∠B－∠3，在△ADC中，∠2＝180°－∠C－∠4(三角形內(nèi)角和定理)， 　　又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2(周角定義) 　　又∴∠BDC＝360°－(180°－∠B－∠3)－(180°－∠C－∠4)(等量代換) 　�。健螧＋∠C＋∠3＋∠4． 　　又∵∠BAC＝∠3＋∠4， 　　∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC(等量代換)． 　　證法二 　　分析：添加輔助線，將∠BAC、∠ABC、∠ACB納入同一個(gè)三角形中．利用定理，有∠BAC＋∠ABD＋∠ACD＋∠1＋∠2＝180°．再由∠1，∠2和∠BDC聯(lián)系起來(lái)，利用定理，有∠1＋∠2＋∠BDC＝180°．然后通過(guò)等量代換，即可完成證明． 　　證明：連接BC． 　　在△ABC中，∠BAC＋∠ABD＋∠ACD＋∠1＋∠2＝180°，在△BDC中，∠BDC＋∠1＋∠2＝180°(三角形內(nèi)角和定理) 　　∴∠1＋∠2＝180°－(∠BAC＋∠ABD＋∠ACD)，∠1＋∠2＝180°－∠BDC(等式性質(zhì))． 　　∴∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD(等量代換)． 　　即∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C． 　　注意：添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化但輔助線的添法沒(méi)有一定的規(guī)律，要根據(jù)需要而定做題時(shí)要注意總結(jié)