Question

（2013•濟(jì)寧三模）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長BD交CF于點(diǎn)G．求證：BD⊥CF；
（3）在（2）小題的條件下，AC與BG的交點(diǎn)為M，當(dāng)AB=4，AD=

2

時(shí)，求線段CM的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，根據(jù)角邊角關(guān)系證出△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF；
（2）先設(shè)BG交AC于點(diǎn)M，根據(jù)（1）證出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又根據(jù)對(duì)頂角相等，得出△BMA∽△CMG，再根據(jù)根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得∠BGC=∠BAC=90°，即可證出BD⊥CF；
（3）首先過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM的值，從而求出CM的值．

解答：（1）解：BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF．

（2）證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M，
∵△BAD≌△CAF，
∴∠ABM=∠GCM，
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG，
∴∠BGC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CF．

（3）過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，
∵在正方形ADEF中，AD=DE=

2

，
∴AE=

AD2+DE2

=2，
∴AN=FN=

1

2

AE=1．
∵在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，
∴CN=AC-AN=3，BC=

AB2+AC2

=4

2

，
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=

FN

CN

=

1

3

，
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM

AM

AB

=tan∠FCN=

1

3

，
∴AM=

1

3

AB=

4

3

，
∴CM=AC-AM=4-

4

3

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了四邊形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用．