Question

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．M為AD中點，連接CM交BD于點N，且ON=1．
（1）求BD的長；
（2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABCM的面積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對邊平行且相等，且對角線互相平分，根據兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，進而確定出三角形MND與三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，設OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長；
（2）由相似三角形相似比為1：2，得到S△MND：S△CND=1：4，可得到△MND面積為1，△MCD面積為3，由S_{平行四邊形ABCD}=AD•h，S_△MCD=MD•h=AD•h，=4S△MCD，即可求得答案．

解答 解：（1）∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴$\frac{MD}{BC}=\frac{DN}{BN}$，
∵M為AD中點，所以BN=2DN，
設OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；

（2）∵△MND∽△CNB，且相似比為1：2，
∴MN：CN=1：2，
∴S△MND：S△CND=1：2，
∵△DCN的面積為2，
∴△MND面積為1，
∴△MCD面積為3，
設平行四邊形AD邊上的高為h，
∵S_{平行四邊形ABCD}=AD•h，S_△MCD=MD•h=AD•h，
∴S_{平行四邊形ABCD}=4S_△MCD=12．
∴四邊形ABCM的面積=9．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，三角形的面積和平行四邊形的面積的計算，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．