Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，OA=2．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）求AD•OC的值；
（3）若AD+OC=9，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由BC是⊙O的切線得到∠B=90°，然后證明△OCD≌△OCB，得到∠ODC=90°，
（2）根據(jù)題干條件證明△ADB∽△ODC，得到AD•OC的值，
（3）在Rt△ODC中，利用勾股定理即可解得CD的長．

解答：證明：（1）連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠B=90°，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4
∵OA=OD，
∴∠2=∠3=∠1=∠4，
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=90°，又∵CD過半徑OD的外端點D，
∴DC是⊙O的切線；（4分）

（2）連接BD，
∵OC∥AD∴∠1=∠3=∠2，
又∠ADB=∠ODC=90°，
∴△ADB∽△ODC，

AD

OD

=

AB

OC

，
AD•OC=OD•AB=8；（8分）

（3）∵AD•OC=8，AD+OC=9，
∴AD=1，OC=8或AD=8，OC=1（不合題意，舍去），
∴CD=

82-22

=2

15

．（12分）

點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．