如圖,△ABM與△CDM是兩個(gè)全等的等邊三角形,MA⊥MD.有下列四個(gè)結(jié)論:(1)∠MBC=25°;(2)∠ADC+∠ABC=180°;(3)直線MB垂直平分線段CD;(4)四邊形ABCD是軸對稱圖形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為


  1. A.
    1個(gè)
  2. B.
    2個(gè)
  3. C.
    3個(gè)
  4. D.
    4
C
分析:(1)△ABM和△CDM是全等的等邊三角形,那么可知這兩個(gè)三角形的內(nèi)角都等于60°,所有的邊都相等,即知∠AMB=∠CMD=60°,又MA⊥MD,故∠AMD=90°,利用周角概念可求∠BMC,而BM=CM,結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°,可求∠MBC、∠MCB;
(2)由于MA⊥MB,則∠AMD=90°,而MA=MD,那么∠MDA=45°,又∠MDC=60°,可求∠ADC=105°,由(1)中可知∠MBC=15°,則∠ABC=60°+15°=75°,所以∠ADC+∠ABC=180°;
(3)延長BM交CD于N,∠NMC是△BMC的外角,可求∠NMC=30°,即知MN是△CDM的角平分線,根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可知MB垂直平分CD;
(4)利用(2)中的方法可求∠BAD=105°,∠BCD=75°,易證∠BAD+∠ABC=180°,則AD∥BC,又∵AB=DC,可證四邊形ABCD是等腰梯形,從而可知四邊形ABCD是軸對稱圖形.
解答:(1)∵△ABM≌△CDM,△ABM、△CDM都是等邊三角形,
∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°,AB=BM=AM=CD=CM=DM,
又∵M(jìn)A⊥MD,
∴∠AMD=90°,
∴∠BMC=360°-60°-60°-90°=150°,
又∵BM=CM,
∴∠MBC=∠MCB=15°;
(2)∵AM⊥DM,
∴∠AMD=90°,
又∵AM=DM,
∴∠MDA=∠MAD=45°,
∴∠ADC=45°+60°=105°,
∠ABC=60°+15°=75°,
∴∠ADC+∠ABC=180°;
(3)延長BM交CD于N,
∵∠NMC是△MBC的外角,
∴∠NMC=15°+15°=30°,
∴BM所在的直線是△CDM的角平分線,
又∵CM=DM,
∴BM所在的直線垂直平分CD;
(4)根據(jù)(2)同理可求∠DAB=105°,∠BCD=75°,
∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴AD∥BC,
又∵AB=CD,
∴四邊形ABCD是等腰梯形,
∴四邊形ABCD是軸對稱圖形.
故(2)(3)(4)正確.
故選C.
點(diǎn)評:本題利用了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、平行線的判定、梯形的判定、等腰三角形三線合一定理、軸對稱的判定.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,∠ABM為直角,點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn),點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)精英家教網(wǎng),連接AD,作BE⊥AD,垂足為E,連接CE,過點(diǎn)E作EF⊥CE,交BD于F.
(1)求證:BF=FD;
(2)∠A在什么范圍內(nèi)變化時(shí),四邊形ACFE是梯形,并說明理由;
(3)∠A在什么范圍內(nèi)變化時(shí),線段DE上存在點(diǎn)G,滿足條件DG=
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DA,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

12、如圖,△ABM與△CDM是兩個(gè)全等的等邊三角形,MA⊥MD.
有下列四個(gè)結(jié)論:(1)∠MBC=25°;(2)∠ADC+∠ABC=180°;(3)直線MB垂直平分線段CD;(4)四邊形ABCD是軸對稱圖形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( �。�

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如圖,∠ABM為直角,點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn),點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)精英家教網(wǎng),連接AD,作BE⊥AD,垂足為E,連接CE,過點(diǎn)E作EF⊥CE,交BD于F.
(1)求證:BF=FD;
(2)點(diǎn)D在運(yùn)動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形?如不能,請說明理由;如能,求出此時(shí)∠A的度數(shù).

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如圖,△ABM與△CDM是兩個(gè)全等的等邊三角形,MA⊥MD.有下列四個(gè)結(jié)論:(1)∠MBC=25°;(2)∠ADC+∠ABC=180°;(3)直線MB垂直平分線段CD;(4)四邊形ABCD是軸對稱圖形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4

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