Question

24、某公路的同一側(cè)有A、B、C三個(gè)村莊，要在公路邊上建一貨棧D，向三個(gè)村莊運(yùn)送農(nóng)用物資，路線是D→A→B→C→D和D→C→B→A→D．如果將A、B、C三點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系中，把x軸建立在公路上（把公路邊近似看作直線），坐標(biāo)如圖所示．
（1）試問在公路邊是否存在一點(diǎn)D，使送貨路線最短？若存在，請畫出D點(diǎn)所在的位置；若不存在，請說明理由；
（2）通過觀察，寫出點(diǎn)D在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作公路的對稱點(diǎn)A′，連接A′C與公路的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)D；
（2）先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出A′點(diǎn)并求出其坐標(biāo)，得出過A′C的直線方程，再根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出D點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）存在，因?yàn)槁肪�D→A→B→C→D和D→C→B→A→D中AB、BC的長已經(jīng)確定，不可能變化，只要找出點(diǎn)D，使AD、CD的和最小即可，那么只要過點(diǎn)A作公路的對稱點(diǎn)A′，連接A′C與公路的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)D；
（2）顯然，A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為A′（1，-2），設(shè)A′C所在的直線的解析式為y=kx+b，則A′、C在直線上，得k+b=-2①，4k+b=1②，
①-②得-3k=-3，
所以k=1，b=-3，
所以直線A′C的解析式為y=x-3，
令y=x-3=0，得x=3，
所以直線A′C與x軸的交點(diǎn)為D（3，0），即D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）

點(diǎn)評：本題考查的是最短路線問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出D點(diǎn)的坐標(biāo)即可．