Question

已知直線ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是正整數(shù)）．當(dāng)n=1時(shí)，直線l₁：y=-2x+1與 x軸和y軸分別交于點(diǎn)A₁和B₁，設(shè)△A₁OB₁（O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）的面積為s₁；當(dāng)n=2時(shí)，直線l2：y=-

3

2

x+

1

2

與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A₂和B₂，設(shè)△A₂OB₂的面積為s₂，…，依此類推，直線l_n與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A_n和B_n，設(shè)△A_nOB_n的面積為S_n．
（1）求△A₁OB₁的面積s₁；
（2）求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）令n=1，求出直線l₁與y軸的交點(diǎn)，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行解答；
（2）分別令n=1，n=2求出直線l₁、l₂與y軸的交點(diǎn)及直線與y軸所圍成的三角形的面積，找出規(guī)律即可得出S_n的值．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，直線l₁：y=-2x+1與 x軸和y軸的交點(diǎn)是A₁（

1

2

，0）和B₁（0，1）
所以O(shè)A₁=

1

2

，OB₁=1，
∴s₁=

1

4

；

（2）當(dāng)n=2時(shí)，直線l2：y=-

3

2

x+

1

2

與 x軸和y軸的交點(diǎn)是A₂（

1

3

，0）和B₂（0，

1

2

）
所以O(shè)A₂=

1

3

，OB₂=

1

2

，
∴s₂=

1

2

×

1

3

×

1

2

=

1

2

×(

1

2

-

1

3

)
當(dāng)n=3時(shí)，直線l3：y3=-

4

3

x+

1

3

與 x軸和y軸的交點(diǎn)是A₃（

1

4

，0）和B₃（0，

1

3

）
所以O(shè)A₃=

1

4

，OB₃=

1

3

，
∴s₃=

1

2

×

1

4

×

1

3

=

1

2

(

1

3

-

1

4

)
依此類推，s_n=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₁₁=

1

2

(

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

)
∴s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₁₁=

1

2

(

1

2

+

1

2

-

1

2012

)
=

1

2

×

2011

2012

=

2011

4024

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)及三角形的面積公式，根據(jù)題意分別求出S₁、S₂、S₃的值是解答此題的關(guān)鍵．