Question

已知，如圖：直線AB：y=-x+8與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)B、A，過點(diǎn)B作直線AB的垂線交y軸于點(diǎn)D．
（1）求BD兩點(diǎn)確定的直線解析式；
（2）若點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作AC的垂線與BD相交于點(diǎn)E，請(qǐng)你判斷：線段AC與CE的大小關(guān)系并證明你的判斷；
（3）若點(diǎn)G為第二象限內(nèi)任一點(diǎn)，連接EG，過點(diǎn)A作AF⊥FG于F，連接CF，當(dāng)點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠EFC的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出∠EFC的度數(shù)；若變化，請(qǐng)求出其變化范圍．

Answer 1

分析：（1）已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，證明△AOB≌△DOB后可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)BD的解析式為y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求出BD的解析式．（2）（3）題都需要考輔助線的幫助．要認(rèn)清并且證明與之有關(guān)聯(lián)的全等三角形方可解題．

解答：（1）解：對(duì)于直線y=-x+8，
令x=0，求得y=8；令y=0，求得x=8，
∴A（0，8），B（8，0），
∴OA=OB=8，
∴∠ABO=45°，
又∵DB⊥AB，
∴∠OBD=90°-∠ABO=45°，
又∵∠AOB=∠DOB=90°，
在△AOB和△DOB中
∵

∠ABO=∠DBO BO=BO ∠AOB=∠BOD

，
∴△AOB≌△DOB（ASA），
∴OD=OA=8，
∴D（0，-8），
設(shè)BD的解析式為y=kx+b，
∴

0=8k+b -8=b

，
∴

k=1 b=-8

．
∴BD的解析式為y=x-8．

（2）AC=CE，
證明：過點(diǎn)C作CF⊥BC，交BA的延長線于點(diǎn)F，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=∠BCF=90°，
又∵∠OBA=45°，
∴∠CFB=90°-45°=∠OBD，
∴CB=CF，
∵∠ACF+∠ACB=90°，∠ECB+∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ECB，
在△ACF和△ECB中
∵

∠CFB=∠CEB BC=FC ∠ACF=∠ECB

，
∴△ACF≌△ECB（ASA），
∴AC=CE．

（3）∠EFC的度數(shù)不變，∠EFC=45°，
證明：過C作CH⊥CF交EF于H，
∵AC⊥CE，
∴∠FCH=∠ACE=90°，
∴∠FCA=∠HCE，
又∵AF⊥EF，
∴∠AFE=∠ACE=90°，
∴∠FAC=∠HEC，
在△AFC和△HCE中
∵

∠FCA=∠HCE AC=EC ∠FAC=∠HEC

∴△AFC≌△HCE（ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=90°，
∴∠EFC=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理，難度中等．