Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，乙每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒（0＜t＜2）．
①過點(diǎn)E作x軸的平行線，與BC相交于點(diǎn)D（如圖所示），當(dāng)t為何值時(shí)， 的值最小，求出這個(gè)最小值并寫出此時(shí)點(diǎn)E、P的坐標(biāo)；
②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

∴ ，

解得：

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x+2．

（2）

解：①由題意得：OP=2t，OE=t，

∵DE∥OB，

∴△CDE∽△CBO，

∴ ，即 ，

∴DE=4﹣2t，

∴ ，

∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）2始終為正數(shù)，且t=1時(shí)，1﹣（t﹣1）2有最大值1，

∴t=1時(shí)， 有最小值1，即t=1時(shí)， 有最小值1，此時(shí)OP=2，OE=1，

∴E（0，1），P（2，0）；

②存在，

∵拋物線y= x2﹣ x+2的對稱軸方程為x=3，

設(shè)F（3，m），

∴EP2=5，PF2=（3﹣2）2+m2，EF2=（m﹣1）2+32，

當(dāng)△EFP為直角三角形時(shí)，

（a）當(dāng)∠EPF=90°時(shí)，

EP2+PF2=EF2，

即5+1+m2=（m﹣1）2+32，

解得：m=2，

（b）當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，

EF2+FP2=PE2，

即（m﹣1）2+32+（3﹣2）2+m2=5，

此方程無解，不合題意舍去，

∴當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，

這種情況不存在，

（c）當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，

EF2+PE2=PF2，

即（m﹣1）2+32+5=（3﹣2）2+m2，

解得：m=7，

∴F（3，2），（3，7）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，通過△CDE∽△CBO得到 ，即 ，求得 有最小值1，即可求得結(jié)果；②存在，求得拋物線y= x2﹣ x+2的對稱方程為x=3，設(shè)F（3，m），當(dāng)△EFP為直角三角形時(shí)（a）當(dāng)∠EPF=90°時(shí)，（b）當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，（c）當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程即可求得結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．