如圖,已知正方形ABCD的邊長是8,E是AB邊上的點(diǎn),且AE=6,△DAE經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△DCF的位置.
(1)旋轉(zhuǎn)中心是
點(diǎn)D
點(diǎn)D
,旋轉(zhuǎn)角度是
90°
90°
,△DEF的形狀是
等腰直角
等腰直角
三角形;
(2)現(xiàn)將△DCF向左平移,使DC與AB重合,得△ABH,AH交DE于點(diǎn)G.
①試說明:AH⊥DE;
②求AG的長.
分析:(1)根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=DC,∠ADC=90°,根據(jù)已知△DAE經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△DCF的位置即可得出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出DE=DF,即可得出△DEF是等腰直角三角形;
(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出△ADE≌△BAH≌△CDF,推出∠BAH=∠ADE,根據(jù)正方形性質(zhì)推出∠ADE+∠GAD=90°,求出∠AGD=90°,即可得出答案;②根據(jù)勾股定理求出DE,根據(jù)三角形的面積公式得出DE×AG=AD×AE,代入求出即可.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=90°,
即A繞D旋轉(zhuǎn)到C點(diǎn),
∴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)D,旋轉(zhuǎn)角度是90°,
∠EDF=∠ADC=90°,DE=DF,
∴△DEF是等腰直角三角形,
故答案為:點(diǎn)D,90°,等腰直角;

(2)①依題意,得:△ADE≌△BAH≌△CDF,
∴∠BAH=∠ADE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
∴∠BAH+∠GAD=90°,
∴∠ADE+∠GAD=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AH⊥DE;

②在Rt△ADE中,根據(jù)勾股定理,得:
DE=
AD2+AE2
=
82+62
=10,
∵S△ADE=
1
2
×AD×AE=
1
2
×DE×AG,
∴DE×AG=AD×AE,
∴8×6=10×AG,
AG=4.8.
點(diǎn)評:本題考查了正方形性質(zhì),勾股定理,三角形的面積,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn),主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力,題目比較好,有一定的難度.
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(2)若正方形的邊長為2a,當(dāng)CE=
a
a
時(shí),S△FGE=S△FBE;當(dāng)CE=
2a+
2
a
2
或EC=
2a-
2
a
2
2a+
2
a
2
或EC=
2a-
2
a
2
 時(shí),S△FGE=3S△FBE

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(1)試說明OE=OF;
(2)當(dāng)AE=AB時(shí),過點(diǎn)E作EH⊥BE交AD邊于H.若該正方形的邊長為1,求AH的長.

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