Question

（2013年四川攀枝花12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點(diǎn)B（10，0），C（7，4）．直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB=．動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線(xiàn)A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為　 　，直線(xiàn)l的解析式為　 　；
（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍；
（3）試求（2）中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PM的延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△QMN為等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

解：（1）（﹣4，0）；y=x+4。
（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：
①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖1，

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5。
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t。
∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，
S=PM•PE=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t。
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2，

過(guò)點(diǎn)C、Q分別作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為F，E，則CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t。
S=PM•PE=×2t×（16﹣7t）=﹣7t²+16t。
③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時(shí)，DM+CQ=CD=7，
即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=。
當(dāng)2＜t＜時(shí)，如圖3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S=PM•MQ=×4×（16﹣7t）=﹣14t+32。
綜上所述，點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為。
（3）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，，
∵a=﹣5＜0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)t=，
∴當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S隨t的增大而增大。
∴當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，最大值為9。
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，，
∵a=﹣7＜0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)t=，
∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值為。
③當(dāng)2＜t＜時(shí)，S=﹣14t+32
∵k=﹣14＜0，∴S隨t的增大而減小。
又∵當(dāng)t=2時(shí)，S=4；當(dāng)t=時(shí)，S=0，∴0＜S＜4。
綜上所述，當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值為。
（4）t=或t=時(shí)，△QMN為等腰三角形。

解析