Question

（2009•深圳）已知：Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)為5，斜邊上的高為2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上（如圖1）．
（1）求線段OA、OB的長(zhǎng)和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式．
（2）如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點(diǎn)E．
①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．
②又連接CD、CP（如圖3），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可證△AOC∽△COB，由相似比得OC²=OA•OB，設(shè)OA的長(zhǎng)為x，則OB=5-x，代入可求OA，OB的長(zhǎng)，確定A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線解析式；
（2）根據(jù)△BDE為等腰三角形，分為DE=EB，EB=BD，DE=BD三種情況，分別求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作輔助線，將求△CDP的面積問題轉(zhuǎn)化．方法一：如圖1，連接OP，根據(jù)S_△CDP=S_{四邊形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD，表示△CDP的面積；方法二：過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)F，則S_△CDP=S_梯形COFP-S_△COD-S_△DFP，表示△CDP的面積；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)OA的長(zhǎng)為x，則OB=5-x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC²=OA•OB
∴2²=x（5-x）                                      …（1分）
解得：x₁=1，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；                      …（2分）
∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
（注：直接用射影定理的，不扣分）
方法一：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=ax²+bx+2，
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

a-b+2=0 16a+4b+2=0 c=2

…（3分）
解得：a=-

1

2

，b=

3

2

，c=2
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-

1

2

x2+

3

2

x+2…（4分）
方法二：設(shè)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=a（x+1）（x-4）…（3分）
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=-

1

2

所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-

1

2

x2+

3

2

x+2…（4分）
（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別是：(3，

1

2

)，(

4

5

，

8

5

)，(4-

4 5

5

，

2 5

5

)．
…1+1+（1分）
（注：符合條件的E點(diǎn)共有三個(gè)，其坐標(biāo)，寫對(duì)一個(gè)給1分）
②如圖1，連接OP，
S_△CDP=S_{四邊形CODP}-S_△COD=S_△COP+S_△ODP-S_△COD            …（8分）
=

1

2

×2m+

1

2

×2n-

1

2

×2×2=m+n-2
=-

1

2

m2+

5

2

m=-

1

2

(m-

5

2

)2+

25

8

…（9分）
∴當(dāng)m=

5

2

時(shí)，△CDP的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

5

2

，

21

8

），
S_△CDP的最大值是

25

8

．                           …（10分）
另解：如圖2、圖3，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，則
S_△CDP=S_梯形COFP-S_△COD-S_△DFP                             …（8分）
=

1

2

×(2+n)m-

1

2

×2×2-

1

2

×|m-2|•n=m+n-2
=-

1

2

m2+

5

2

m=-

1

2

(m-

5

2

)2+

25

8

…（9分）
∴當(dāng)m=

5

2

時(shí)，△CDP的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

5

2

，

21

8

），
S_△CDP的最大值是

25

8

．                                 
（注：只回答有最大面積，而沒有說明理由的，不給分；點(diǎn)P的坐標(biāo)，或最大面積計(jì)算錯(cuò)誤的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情給分．）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形中斜邊上的高分得的兩個(gè)三角形相似，利用相似比求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，確定拋物線解析式，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求E點(diǎn)坐標(biāo)，利用作輔助線的方法表示△CDP的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求三角形面積的最大值．