Question

如圖，已知拋物線過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求該拋物線的解析式及其頂點的坐標；
（2）若P是拋物線上C、B兩點之間的一動點，請連接CP、BP，是否存在點P，使得四邊形OBPC的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出二次函數(shù)的一般形式后代入三個點的坐標求解即可；
（2）設存在點P（x，x²-2x-3），使得四邊形OBPC的面積最大，作PD⊥x軸于點D，根據(jù)S_{四邊形OCPB}=S_梯形OCPD+S_△PBD得到有關x的最大值后即可求解

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

解得：

a=1 b=-2 c=-3

∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點坐標為（1，-4）；

（2）設存在點P（x，x²-2x-3），使得四邊形OBPC的面積最大，
如圖，作PD⊥x軸于點D，
則OD=x，PD=-（x²-2x-3）=3+2x-x²，DB=3-x，
S_{四邊形OCPB}=S_梯形OCPD+S_△PBD=

1

2

（OC+PD）•OD+

1

2

DB•DP=

1

2

×（3+3+2x-x²）•x+

1

2

（3-x）（3+2x-x²）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

63

8

則當x=

3

2

時，面積最大，
此時點P的坐標為：（

3

2

，-

15

4

）．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、四邊形的面積等知識點，綜合性強，考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．