Question

閱讀下列材料，并解答問題：
在一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，如果b²-4ac≥0時，那
么它的兩個根是x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

所以x1+x2=

(-b+ b2-4ac )+(-b- b2-4ac )

2a

=

-2b

2a

=-

b

a

x1x2=

(-b+ b2-4ac )•(-b- b2-4ac )

2a•2a

=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．
由此可見，一元二次方程的兩根的和、兩根的積是由一元二次方程的系數(shù)a、b、c確定的．運用上述關系解答下列問題：
（1）已知一元二次方程2x²-6x-1=0的兩個根分別為x₁、x₂，則x₁+x₂=

3

，x₁x₂=

-

1

2

，

1

x1

+

1

x2

=

-6

．
（2）已知x₁、x₂是關于x的方程x²-x+a=0的兩個實數(shù)根，且

x

2 1

+

x

2 2

=7，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系求出即可；
（2）求出x₁+x₂=1，x₁•x₂=a，轉化后代入即可求出a，再代入根的判別式判斷即可．

解答：解：（1）∵一元二次方程2x²-6x-1=0的兩個根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-

-6

2

=3，x₁•x₂=-

1

2

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

3

- 1 2

=-6，
故答案為：3，-

1

2

，-6．

（2）∵x₁、x₂是關于x的方程x²-x+a=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=a，
∵

x

2 1

+

x

2 2

=7，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=7，
1²-2a=7，
a=-3，
把a=-3代入△=（-1）²-4a=1+12=13＞0，
∴a=-3．

點評：本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系的應用，注意：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩個根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．