Question

【題目】設(shè)k是任意實(shí)數(shù)，討論關(guān)于x的方程|x2﹣1|＝x+k的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】答案見(jiàn)解析.

【解析】

先根據(jù)x的范圍去絕對(duì)值，（1）當(dāng)x＞1或x＜﹣1，方程變?yōu)?/span>x2﹣x＝1+k，要求方程解的個(gè)數(shù)就是要二次函數(shù)y＝x2﹣x與直線(xiàn)y＝1+k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可求出二次函數(shù)y＝x2﹣x的頂點(diǎn)（，-），且過(guò)（0，0），（1，0）兩點(diǎn)，則當(dāng)1+k＜0，原方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)1+k≥2，原方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)0≤1+k＜2，原方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)1+k＜0，原方程無(wú)實(shí)根．（2）當(dāng)﹣1≤x≤1，方程變?yōu)?/span>x2+x＝1﹣k，和（1）的解法一樣求出k的范圍．

解：（1）當(dāng)x＞1或x＜﹣1，方程變?yōu)?/span>x2﹣x＝1+k，則方程解的個(gè)數(shù)就是二次函數(shù)y＝x2﹣x與直線(xiàn)y＝1+k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，二次函數(shù)y＝x2﹣x的頂點(diǎn)（，-），且過(guò)（0，0），（1，0）兩點(diǎn)．

當(dāng)0≤1+k＜2，即﹣1≤k＜1，二次函數(shù)y＝x2﹣x與直線(xiàn)y＝1+k在所在范圍有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有一個(gè)實(shí)根；

當(dāng)1+k≥2，即k≥1，二次函數(shù)y＝x2﹣x與直線(xiàn)y＝1+k在所在范圍有兩個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有兩個(gè)實(shí)根；

當(dāng)1+k＜0，即k＜﹣1，二次函數(shù)y＝x2﹣x與直線(xiàn)y＝1+k無(wú)交點(diǎn)，所以原方程無(wú)實(shí)根．

（2）當(dāng)﹣1≤x≤1，方程變?yōu)?/span>x2+x＝1﹣k，則方程解的個(gè)數(shù)就是二次函數(shù)y＝x2+x與直線(xiàn)y＝1﹣k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，二次函數(shù)y＝x2+x的頂點(diǎn)（-，-），且過(guò)（0，0），（﹣1，0）兩點(diǎn)．

當(dāng)1﹣k＞0，即k＜1，二次函數(shù)y＝x2+x與直線(xiàn)y＝1﹣k在所在范圍無(wú)交點(diǎn)，所以原方程無(wú)實(shí)根；

當(dāng)-＜1﹣k≤0，即1≤k＜，二次函數(shù)y＝x2+x與直線(xiàn)y＝1﹣k有兩個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有兩個(gè)實(shí)根；

當(dāng)1﹣k＝-，即k＝，二次函數(shù)y＝x2+x與直線(xiàn)y＝1﹣k有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有一個(gè)實(shí)根；

當(dāng)1﹣k＜-，即k＞，二次函數(shù)y＝x2+x與直線(xiàn)y＝1﹣k沒(méi)有交點(diǎn)，所以原方程無(wú)實(shí)根．

所以當(dāng)k＜﹣或﹣1＜k＜1或k＞時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)k＝﹣或k＝時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)-＜k≤﹣1或1≤k＜時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．