Question

已知：拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)，試在y軸上確定一點(diǎn)P，使PA+PB最短，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)A作AD∥BP交y軸于點(diǎn)D，求到直線AP、AD、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）解：∵拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴k²+k=0，
解得：k=0（舍去），k=-1，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x，
∴y=-x²+2x，
=-（x-）²+3，
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，3），
答：拋物線的解析式是y=-x²+2x，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，3）；

（2）解：當(dāng)y=0時-x²+2x=0，
解得：x₁=0，x₂=2，
∴A的坐標(biāo)是（2，0），
A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是C（-2，0），
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
把B（，3），C（-2，0）代入得：，
解得：，
∴直線BC的解析式是y=x+2，
當(dāng)x=0時，y=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，2），
答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，2）．

（3）解：∵A、C關(guān)于y軸對稱，P在Y軸上，
∴AP=CP，
∵∠CAP=∠ACP，x軸⊥y軸，
∴y軸是∠APC的角平分線，
即y軸上任意一點(diǎn)到AP、CP的距離都相等，
∵AD∥PC，
∴∠DAC=∠ACP，
∴∠DAC=∠CAP，
∴x軸是∠DAP的角平分線，
即x軸上任意一點(diǎn)到AP、AD的距離都相等，
∴x軸與y軸的交點(diǎn)O到AP、AD、CP距離相等，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0），
如圖∠DAP的外角∠EAP的平分線和∠CPA的外角∠FPA的平分線的交點(diǎn)M也符合要求，
根據(jù)作圖條件能得到矩形MAOP，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，2），
到直線AP、AD、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0）和（2，2），
答：到直線AP、AD、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0）和（2，2）．
分析：（1）由拋物線過原點(diǎn)得到k²+k=0，且k≠0，求出k的值，即可得到拋物線的解析式，化成頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)y=0時，求出x的值，即得到A的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出A關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入解析式即可求出直線BC的解析式，求出直線BC與Y軸的交點(diǎn)即可；
（3）證出Y軸是∠APC的角平分線和X軸是∠DAP的角平分線，兩線的交點(diǎn)O就是符合條件的點(diǎn)；同樣作∠DAP的外角∠EAP的平分線和∠CPA的外角∠FPA的平分線，其交點(diǎn)M也符合要求，求出M的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式等知識點(diǎn)，熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個綜合性很強(qiáng)的題目，有一定的難度，但題型較好．