Question

20．在⊙O中，弦AB=4，AC=2$\sqrt{6}$，半徑為2$\sqrt{2}$，則∠BAC=75°或15°．

Answer 1

分析 分兩弦在圓心的同旁和兩旁討論，求出∠BAO、∠CAO的度數，即可求出答案．

解答 解：①兩弦在圓心的兩旁，過O作OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，連接OA
∵AB=4，AC=2$\sqrt{6}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2，AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$，
根據直角三角形中三角函數的值可知：sin∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOD=60°，
∴∠DAO=30°，
∵sin∠AOE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AOE=45°，
∴∠BAO=45°，
∴∠BAC=∠DAO+∠BAO=30°+45°=75°；
②當兩弦在圓心的同旁的時候就是15°證法同①．
故答案為：75°或15°．

點評 本題考查了垂徑定理的應用，關鍵是畫圖，圖形可以幫助學生直觀簡單的理清題意，然后利用垂徑定理和特殊角的三角函數求解即可，注意本題有兩種情況．