Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OA以每秒4個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BO以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)O停止，設(shè)P、Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)O、B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）用含有t的代數(shù)式分別表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若四邊形PQBA為梯形，求t的值．
（3）如圖1，將△POQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PCD，當(dāng)點(diǎn)D落在直線AB上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（4）如圖2，以PQ為對(duì)稱軸作△POQ的軸對(duì)稱圖形△PEQ，當(dāng)△PEQ的一邊與AB平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有t的值．

Answer 1

分析 （1）求出OQ，OP的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1中，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，四邊形PQBA是梯形，可得$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{4t}{8}$，解方程即可．
（3）用t表示點(diǎn)D坐標(biāo)，代入直線的解析式即可解決問(wèn)題．
（4）分五種情形分別列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）由題意BQ=3t，OP=4t，
對(duì)于直線y=-$\frac{3}{4}$x+6，令x=0得y=6，令y=0得x=8，
∴B（0，6），A（8，0），
∴OB=6，OA=8，
∴Q（0，6-3t），P（4t，0）．

（2）如圖1中，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，四邊形PQBA是梯形，
∴$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{4t}{8}$，
∴t=1．
∴t=1s時(shí)，四邊形PQBA是梯形．

（3）由題意D（4t+6-3t，4t），即D（t+6，4t），
∵點(diǎn)D在直線y=-$\frac{3}{4}$x+6上，
∴4t=-$\frac{3}{4}$（t+6）+6，
∴t=$\frac{6}{19}$s，
∴t=$\frac{6}{19}$s時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D落在直線AB上時(shí)．

（4）如圖2中，
①當(dāng)PQ∥AB時(shí)，由（2）可知t=1s．
②當(dāng)EQ∥OA時(shí)，PE=OP=OQ，即6-3t=4t，∴t=$\frac{6}{7}$s．
③當(dāng)PE∥OB時(shí)，∠OQP=∠QPO=∠QPE=45°，
∴OQ=OP，
∴6-3t=4t，
∴t=$\frac{6}{7}$s．
④當(dāng)QE∥AB時(shí)，如圖3中，延長(zhǎng)QE交OA于F．
由△PEF∽△BOA得$\frac{PE}{OB}$=$\frac{PF}{AB}$，
∴PF=$\frac{20t}{3}$，
∴OF=$\frac{32t}{3}$，
∵$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OF}{OA}$，
∴$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{\frac{32}{3}t}{8}$，
∴t=$\frac{6}{11}$s．
⑤當(dāng)PE∥AB，如圖4中，延長(zhǎng)PE交OB于F．
由△QEF∽△ABO，得到$\frac{QF}{AB}$=$\frac{QE}{OA}$，可得QF=$\frac{5}{4}$（6-3t），
∴OF=$\frac{9}{4}$（6-3t），
∵$\frac{OF}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{\frac{9}{4}（6-3t）}{6}$=$\frac{4t}{8}$，
∴t=$\frac{18}{13}$，
綜上所述，當(dāng)△PEQ的一邊與AB平行時(shí)，t的值為1s或$\frac{6}{7}$s或$\frac{6}{11}$s或$\frac{18}{13}$s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．屬于中考?jí)狠S題．