Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，

AD

BC

=

2

5

，cosB=

3

5

，P是邊BC上的一個動點(diǎn)，∠APQ=∠B，PQ交射線AD于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為x，點(diǎn)Q到點(diǎn)D的距離為y．
（1）用含x的代數(shù)式表示AP的長．
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．
（3）△CPQ與△ABP能否相似？如果能，請求出BP的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，可以求出AH，BH的長度，然后在Rt△AHP中，利用勾股定理表示AP的長度；
（2）先利用

AD

BC

=

2

5

與等腰梯形的性質(zhì)求出AD、BC的長度，然后證明△APQ和△PBA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列出比例式，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行整理即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）要使△CPQ與△ABP相似，因?yàn)榭梢宰C明∠BAP=∠CPQ，所以還必須有∠PQC=∠B或∠PCQ=∠B，因此需要分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列比例式進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）作AH⊥BC于點(diǎn)H．
∵cosB=

3

5

，AB=5，
∴BH=3，AH=4．（2分）
在Rt△AHP中，
AP=

(3-x)2+42

=

x2-6x+25

．（1分）

（2）∵

AD

BC

=

2

5

，
∴

AD

6+AD

=

2

5

．
∴AD=4，BC=10．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠APB．
∵∠APQ=∠B．
∴△APQ∽△PBA．（1分）
∴

AQ

AP

=

AP

BP

．（1分）
∴

y+4

x2-6x+25

=

x2-6x+25

x

．
∴y=

x2-10x+25

x

．（1分）
定義域?yàn)?＜x≤10；（1分）

（3）要使△CPQ與△ABP相似，必須有∠PQC=∠B或∠PCQ=∠B．
（i）如果∠PQC=∠B，那么∠APQ=∠PQC．
∴AP∥CQ．
∵AQ∥PC，
∴四邊形APCQ是平行四邊形．（1分）
∴AQ=PC，即y+4=10-x．
∴

x2-10x+25

x

+4=10-x．（1分）
整理，得2x²-16x+25=0．
∴x=

16± 162-4×2×25

4

=

16± 56

4

=

8± 14

2

．（1分）
（ⅱ）如果∠PCQ=∠B時，那么點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合．（1分）
∴y=0，即

x2-10x+25

x

=0．（1分）
∴x=5．（1分）
綜上所述，△CPQ與△ABP能相似，此時BP=

8± 14

2

或5．

點(diǎn)評：本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，需要結(jié)合圖形，對各知識點(diǎn)綜合考慮并靈活運(yùn)用方能解決．