Question

如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結論：①OD²=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S_梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（　�。�

A．

①②⑤

B．

②③④

C．

③④⑤

D．

①④⑤

Answer 1

考點：

切線的性質；切線長定理；相似三角形的判定與性質。

專題：

計算題。

分析：

連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD²=DE•CD，選項①正確；又ABCD為直角梯形，利用梯形的面積計算后得到梯形ABCD的面積為AB（AD+BC），將AD+BC化為CD，可得出梯形面積為AB•CD，選項④錯誤，而OD不一定等于OC，選項①錯誤，即可得到正確的選項．

解答：

解：連接OE，如圖所示：

∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，

∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，

∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確；

在Rt△ADO和Rt△EDO中，

，

∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），

∴∠AOD=∠EOD，

同理Rt△CEO≌Rt△CBO，

∴∠EOC=∠BOC，

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，

∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項⑤正確；

∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，

∴△EDO∽△ODC，

∴=，即OD²=DC•DE，選項①正確；

而S_梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，選項④錯誤；

由OD不一定等于OC，選項③錯誤，

則正確的選項有①②⑤．

故選A

點評：

此題考查了切線的性質，切線長定理，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及梯形面積的求法，利用了轉化的數(shù)學思想，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．