如圖,已知拋物線與拋物線關(guān)于y軸對稱,并與y軸交于點M,與x軸交于A、B兩點.
 
(1)求拋物線y1的解析式;
(2)若AB的中點為C,求sin∠CMB;
(3)若一次函數(shù)y=kx+h的圖象過點M,且與拋物線y1交于另一點N(m,n),其中m≠n,同時滿足m2-m+t=0和n2-n+t=0(t為常數(shù)).
①求k值;
②設(shè)該直線交x軸于點D,P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點,若以O(shè)、D、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形,試求P點的坐標(biāo).(只需直接寫出點P的坐標(biāo),不要求解答過程)
【答案】分析:(1)對與函數(shù),令x=0,可得y=5,從而可得出點M的坐標(biāo),令y=0,可求出x1=-1,x2=-5,從而得出拋物線y2與x軸兩交點的坐標(biāo)為(-1,0),(-5,0),結(jié)合軸對稱的知識,可設(shè)y1=a(x-1)(x-5),將點M(0,5)代入,即可得出解析式;
(2)過點C作CH⊥MB于點H,求出CB、MC,及△CMB的面積,然后利用勾股定理求出MB的長度,繼而可得出CH的長度,在RT△MNH中可求出sin∠CMB的值;
(3)先根據(jù)題意得出直線y=kx+h中k的可能值,然后分類討論得出點D的坐標(biāo),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出點P的坐標(biāo).
解答:解:(1)對于函數(shù)來說,令x=0,則y=5,
∴M(0,5),
令y=0,則x2+6x+5=0,
∴x1=-1,x2=-5,
∴拋物線y2與x軸兩交點的坐標(biāo)為(-1,0),(-5,0),
∵拋物線y1、y2關(guān)于y軸對稱,
∴A(1,0),B(5,0).…(3分)
故可設(shè)y1=a(x-1)(x-5),將點M(0,5)代入,得y1=(x-1)(x-5),即.…(4分)
(2)∵A(1,0),B(5,0),M(0,5),C為AB的中點,
∴C(3,0),CB=2,MC=
∴S△CMB=CB•OM=×2×5=5,
∵OM=OB=5,
∴由勾股定理可得MB=5,
過點C作CH⊥MB于點H,則×5-CH=5,

∴CH=
在Rt△MCH中,sin∠CMB===
(3)①∵直線y=kx+h過點M(0,5),
∴h=5,
∵N(m,n)在拋物線y1上,
∴n=m2-6m+5,
又∵m2-m+t=0,n2-n+t=0,
故兩式相減,得:m2-n2-m+n=0,即(m-n)(m+n-1)=0.
∵m≠n,
∴m+n-1=0,即n=1-m,
將n=1-m代入n=m2-6m+5得:m2-5m+4=0,
∴m1=1,m2=4.從而n1=0,n2=-3,
∴N1(1,0),N2(4,-3),
故將它們的坐標(biāo)分別代入y=kx+5中,得k1=-5,k2=-2.
②當(dāng)k=-5時,直線為y=-5x+5,此時D,N與A點重合.
因此滿足條件的P點有三個:P1(1,5),P2(-1,5),P3(1,-5).
當(dāng)k=-2時,直線為y=-2x+5,此時D(,0).
因此滿足條件的P點也有三個:P4,5),P5(-,5),P6(,-5).
綜上,滿足條件的P點共有六個:P1(1,5),P2(-1,5),P3(1,-5),P4,5),P5(-,5),P6,-5).
點評:本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點,主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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在斜坡A處立一旗桿AB(旗桿與水平面垂直),一小球從斜坡O點拋出(如圖),小球擦旗桿頂B而過,落地時撞擊斜坡的落點為C,已知A點與O點的距離為
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米,旗桿AB高為3米,C點的垂精英家教網(wǎng)直高度為3.5米,C點與O點的水平距離為7米,以O(shè)為坐標(biāo)原點,水平方向與豎直方向分別為x軸、y軸,建立直角坐標(biāo)系.
(1)求小球經(jīng)過的拋物線的解析式(小球的直徑忽略不計);
(2)H為小球所能達到的最高點,求OH與水平線Ox之間夾角的正切值.

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在斜坡A處立一旗桿AB(旗桿與水平面垂直),一小球從斜坡O點拋出(如圖),小球擦旗桿頂B而過,落地時撞擊斜坡的落點為C,已知A點與O點的距離為數(shù)學(xué)公式米,旗桿AB高為3米,C點的垂直高度為3.5米,C點與O點的水平距離為7米,以O(shè)為坐標(biāo)原點,水平方向與豎直方向分別為x軸、y軸,建立直角坐標(biāo)系.
(1)求小球經(jīng)過的拋物線的解析式(小球的直徑忽略不計);
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已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的解析式為,將拋物線平移后得到拋線物,若拋物線經(jīng)過點(0,2),且其頂點A的橫坐標(biāo)為最小正整數(shù)。
(1 )求拋物線l2 的解析式;
(2 )說明將拋物線l1 如何平移得到拋物線l2 ;
(3 )若將拋物線l2 沿其對稱軸繼續(xù)上下平移,得到拋物線l3 ,設(shè)拋物線l3 的頂點為B ,直線OB 與拋物線l3 的另一個交點為C .當(dāng)OB=OC 時,求點C 的坐標(biāo).

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如圖所示,已知m、n是方程的兩個實數(shù)根,且m<n,拋物線的圖像經(jīng)過點A(m,0)、B(0,n).  

(1)求這個拋物線的解析式;

(2)設(shè)(1)中拋物線與x軸的另一交點為C,拋物線的

頂點為D,試求出點C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積;

(注:拋物線的頂點坐標(biāo)為

(3)P是線段OC上的一點,過點P作PH⊥x軸,與拋

物線交于H點,若直線BC把△PCH分成面積之比

為2:3的兩部分,請求出P點的坐標(biāo).              

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(2001•青海)在斜坡A處立一旗桿AB(旗桿與水平面垂直),一小球從斜坡O點拋出(如圖),小球擦旗桿頂B而過,落地時撞擊斜坡的落點為C,已知A點與O點的距離為米,旗桿AB高為3米,C點的垂直高度為3.5米,C點與O點的水平距離為7米,以O(shè)為坐標(biāo)原點,水平方向與豎直方向分別為x軸、y軸,建立直角坐標(biāo)系.
(1)求小球經(jīng)過的拋物線的解析式(小球的直徑忽略不計);
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