Question

【題目】已知拋物線，與x軸交于兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（Ⅰ）求點(diǎn)A，B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（Ⅱ）已知P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①若軸，交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）A，B，C；（Ⅱ）①；②

【解析】

（Ⅰ）令，代入拋物線解析式即可求出A、B的坐標(biāo)，令從而得出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）①設(shè)代入B、C坐標(biāo)即可得出直線解析式，設(shè)，，則，且Q在P上方，分別表示出PQ，BP即可得出PQ+BP的表達(dá)式，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行配方即可得出結(jié)果，②如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，連接，作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，可證的是等腰直角三角形，由垂線段最短可知，當(dāng)，，共線時(shí)取得最小值，根據(jù)題目已知條件得出D點(diǎn)坐標(biāo)，表示出即可得出結(jié)果．

解：（Ⅰ）令，則，解得，．

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為．

令，則．

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為．

（Ⅱ）①設(shè)：，將，分別代入得，

，解得，故．

可設(shè)，，則，且Q在P上方．

所以．

又．

故．

當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)．

②如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，連接，作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H．

由，，，

所以，．

則是等腰直角三角形，．

，由垂線段最短可知，當(dāng)，，共線時(shí)取得最小值．

∵，

∵，

∴．

∴．

∴，．

可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

∴，

，代入可得，

解得，故有．

所以的最小值為．