Question

11．如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，E為AD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→D→E，向終點(diǎn)E以每秒a厘米的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PBF的面積記為S．S與t的部分函數(shù)圖象如圖2所示，已知點(diǎn)M（1，$\frac{3}{2}$）、N（5，6）在S與t的函數(shù)圖象上．
（1）求線段BF的長(zhǎng)及a的值；
（2）寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并補(bǔ)全該函數(shù)圖象；
（3）當(dāng)t為多少時(shí)，△PBF的面積S為4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)t=5時(shí)S=6求出BF的長(zhǎng)，根據(jù)t=1時(shí)S=$\frac{3}{2}$列式可計(jì)算出a的值；
（2）S與t的函數(shù)關(guān)系式分以下三種情況：
①點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤4；
②點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)，即4＜t≤8；
③點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即8＜t≤10，分別按照三角形面積公式列出函數(shù)表達(dá)式．
（3）把S=4分別代入S=$\frac{3}{2}$t和S=18-$\frac{3}{2}$t，求得t的值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，△PBF的面積記為S=6，
則有：$\frac{1}{2}$×BF×4=6，解得：BF=3，
當(dāng)t=1時(shí)，S=$\frac{3}{2}$，BP=a，
則有：$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}×3a$=$\frac{3}{2}$，
解得：a=1，
故線段BF的長(zhǎng)為3，a的值為1；
（2）當(dāng)0≤t≤4時(shí)，即點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，
S=$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{1}{2}$×3×t=$\frac{3}{2}$t；
當(dāng)4＜t≤8時(shí)，即點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)，
此時(shí)面積S=$\frac{1}{2}$×BF×BC=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
當(dāng)8＜t≤10時(shí)，即點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)，
S=$\frac{1}{2}$×BF×AP=$\frac{1}{2}$×3×（12-t）=18-$\frac{3}{2}$t．
綜上：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}t（0≤t≤4）}\\{6（4＜t≤8）}\\{18-\frac{3}{2}t（8＜t≤10）}\end{array}\right.$；
函數(shù)圖象如下所示：

（3）當(dāng)S=4時(shí)，$\frac{3}{2}$t=4，t=$\frac{8}{3}$．
18-$\frac{3}{2}$t=4，t=$\frac{28}{3}$．
故當(dāng)t=$\frac{8}{3}$或 t=$\frac{28}{3}$時(shí)△PBF的面積S為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．