Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L1：過(guò)點(diǎn)C(0，﹣3)，與拋物線L2：的一個(gè)交點(diǎn)為A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P、Q分別是拋物線L1、拋物線L2上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線L1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)R為拋物線L1上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）點(diǎn)坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式便可；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），分兩種情況討論：AC為平行四邊形的一條邊，AC為平行四邊形的一條對(duì)角線，用x表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再把Q點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，列出方程求得解便可；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，拋物線L1不存在點(diǎn)R使得CA平分∠PCR，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在CA的上方，點(diǎn)R在CA的下方，過(guò)點(diǎn)P、R分別作y軸的垂線，垂足分別為S、T，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥TR于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x1，），點(diǎn)R坐標(biāo)為（x2，），證明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，進(jìn)而得tan∠PRH的值，過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，），由tan∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．

（1）將代入，得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

將代入，

得，解得.

所以拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

第一種情況：為平行四邊形的一條邊.

①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

將代入，得

，

整理得，解得.

因?yàn)?/span>時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，所以舍去，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

將代入，得

，

整理得，解得.

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

第二種情況：當(dāng)為平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí).

由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

將代入，得

，

整理得，解得.

因?yàn)?/span>時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，所以舍去，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或.

（3）當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，拋物線不存在動(dòng)點(diǎn)使得平分.

當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)在的上方，點(diǎn)在的下方，

過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足分別為，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則有.

由平分，得，則，

故，所以.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以有，

整理得.

在中，.

過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為.

若，則需.所以.

所以.解得.

所以點(diǎn)坐標(biāo)為或.