Question

如圖，⊙O的直徑AB交弦CD于點M，且M是CD的中點．過點B作BE∥CD，交AC的延長線于點E．連接BC．
（1）求證：BE為⊙O的切線；
（2）如果CD=6，

MB

MC

=

1

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可證AB⊥BE，從而可證BE為⊙O的切線；
（2）由垂徑定理知：CM=

1

2

CD=3，在Rt△BCM中，根據

MB

MC

=

1

2

，可將BM的值求出，由

BC

=

BD

，可知：∠BAC=∠BCD，從而得出△ACM∽△CBM．利用相似三角形的性質可將AM的值求出，從而可得出⊙O的半徑．

解答：證明：（1）∵BE∥CD，AB⊥CD，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BE為⊙O的切線．
（2）∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CM=

1

2

CD=3，

BC

=

BD

，
∴∠BAC=∠BCD（等弧所對的圓周角相等），
∵

BM

CM

=

1

2

，
∴BM=

3

2

，
∵△ACM∽△CBM，
∴

AM

CM

=

CM

BM

解得：AM=6．
∴AB=AM+BM=

15

2

．則⊙O的半徑=

AB

2

=

15

4

．

點評：本題主要考查學生對圓、三角函數、以及解直角三角形的運算能力，綜合考察的知識點較多，解答本題的突破口是利用垂徑定理求出CM的長，難度一般．