Question

如圖，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，且G、H分別為AD、BC的中點．求證：EF和GH互相平分．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：連結(jié)GE、EH、HF、FG，則 　　∵AE⊥BD，G為AD中點， 　　∴GE＝GD＝AD，∠GED＝∠GDE． 　　同理可證： 　　HF＝HB＝BC，∠HBF＝∠HFB． 　　又∴ABCD是平行四邊形， 　　∴ADBC． 　　∴GE＝HF，∠DEG＝∠BFH． 　　∴GE∥HF． 　　∴四邊形GEHF是平行四邊形． 　　∴EF和GH互相平分． 　　點悟：欲證四邊形GEHF是平行四邊形，可證四邊形GEHF的對角線互相平分． 　　證法2：設(shè)BD和GH相交于點O，則 　　∵四邊形ABCD是平行四邊形， 　　∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD． 　　又∵AE⊥BD，CF⊥BD， 　　∴△ABE≌△CDF． 　　∴BE＝DF． 　　∵四邊形ABCD是平行四邊形，且G、H分別是AD、BC的中點， 　　∴DGBH． 　　∴四邊形DGBH是平行四邊形． 　　∴BD和GH互相平分． 　　即OG＝OH，OB＝OD． 　　又∵BE＝DF， 　　∴OB－BE＝OD－DF， 　　∴OE＝OF． 　　∴四邊形EHFG是平行四邊形． 　　∴EF和GH互相平分．

提示：

點悟：要證EF和GH互相平分，只需證明四邊形EHFG是平行四邊形，而平行四邊形的判定方法有很多種，下證其有一組對邊平行且相等． 　　點撥：平行四邊形的判定方法有很多種，做題時要從多方面加以分析論證，尋求多種證明途徑，拓寬思路． 　　通過證明一個四邊形是平行四邊形，還可以求證線段相等、角相等、線的平行和線段的互相平分等問題．