Question

（2013•蓮湖區(qū)一模）在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師拿出三個(gè)邊長都為5cm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個(gè)問題：若將三個(gè)正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個(gè)圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)有多大？問題提出后，同學(xué)們經(jīng)過討論，大家覺得本題實(shí)際上就是求將三個(gè)正方形硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，圓形硬紙板能蓋住時(shí)的最小直徑．老師將同學(xué)們討論過程中探索出的三種不同擺放類型的圖形畫在黑板上，如下圖所示：
（1）通過計(jì)算（結(jié)果保留根號(hào)與π）．
（Ⅰ）圖①能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應(yīng)為______

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）連接正方形的對(duì)角線BD，利用勾股定理求出BD的長即可；
（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形對(duì)角線的長即可；
（Ⅲ）找出過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心及半徑，利用勾股定理求解即可；
（2）連接OB，ON，延長OH交AB于點(diǎn)P，則OP⊥AB，P為AB中點(diǎn)，設(shè)OG=x，則OP=10-x，再根據(jù)勾股定理解答．
解答：解：（1）（Ⅰ）連接BD，

∵AD=3×5=15cm，AB=5cm，
∴BD==cm；
（Ⅱ）如圖所示，

∵三個(gè)正方形的邊長均為5，
∴A、B、C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓上，
∴OA==5cm，
∴能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為10cm；
（Ⅲ）如圖所示，

∵CE⊥AB，AC=BC，
∴CE是過A、B、C三點(diǎn)的圓的直徑，
∵OA=OB=OD，
∴O為圓心，
∴⊙O的半徑為OA，
OA==5cm，
∴能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為5×2=10cm；
（2）如圖④為蓋住三個(gè)正方形時(shí)直徑最小的放置方法，（5分）

連接OB，ON，延長OH交AB于點(diǎn)P，則OP⊥AB，P為AB中點(diǎn)，
設(shè)OG=x，則OP=10-x，
則有：，（7分）
解得：，（8分）
則ON=，
∴直徑為．（9分）
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是找出找出以各邊頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓的圓心及半徑，再根據(jù)勾股定理解答．