Question

在課外小組活動時，小慧拿來一道題（原問題）和小東、小明交流。
原問題：如圖（1），已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，連接DE交AB于點(diǎn)F探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系。
小慧同學(xué)的思路是：過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解；
小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°；
小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況，請你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：

（1）寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖（2），若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖（3），若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明。

Answer 1

解：（1）DF=EF；
（2）猜想：DF=FE； 證明：如圖（1）所示，過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則∠DGB=90° ∵DA=DB，∠ADB=60°， ∴AG=BC，△DBA是等邊三角形， ∴DB=BA， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30° ∴AC=1/2AB=BG， ∴△DBG≌△BAC， ∴DG=BC， ∵BE=EC，∠BEC=60°， ∴△EBC是等邊三角形， ∴BC=BE，∠CBE=60°， ∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°， ∵∠DFC=∠EFB，∠DCF=∠EBF， ∴△DFC≌△EFB， ∴DF=EF；
（3）猜想：DF=FE； 如圖（2）所示，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，連接HC，HE，HE交CB于K，則∠DHB=90°， ∵DA=DB， ∴AH=BH，∠1=∠HDB， ∵∠ACB=90°， ∴HC=HB， ∵EB=EC，HE=HE， ∴△HBE≌△HCE， ∴∠2=∠3，∠4=∠BEH， ∴HK⊥BC， ∴∠BKE=90°， ∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC， ∴∠HDB=∠BEH=∠ABC， ∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°， ∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°， ∴DB∥HE，DH∥BE， ∴四邊形DHEB是平行四邊形， ∴BF=EF。