Question

矩形OABC的頂點(diǎn)A（-8，0）、C（0，6），點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)及a、b的值；
（2）在y軸上取一點(diǎn)P，使PA+PD長(zhǎng)度最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線y=ax²+bx向下平移，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D₁．當(dāng)拋物線平移到某個(gè)位置時(shí)，恰好使得點(diǎn)O是y軸上到A₁、D₁兩點(diǎn)距離之和OA₁+OD₁最短的一點(diǎn)，求此拋物線的解析式．

Answer 1

（1）由矩形的性質(zhì)可知：B（-8，6），
∴D（-4，6），點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)D′（4，6），
將A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax²+bx，得：

64a-8b=0 16a-4b=6

∴

a=- 3 8 b=-3

；

（2）設(shè)直線AD′的解析式為y=kx+n，則：

-8k+n=0 4k+n=6

，
解得：

k= 1 2 n=4

；
故直線y=

1

2

x+4與y軸交于點(diǎn)（0，4），所以點(diǎn)P（0，4）；，

（3）設(shè)拋物線現(xiàn)象平移了m個(gè)單位，則A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m）
∴D₁′（4，6-m），
令直線A₁D₁′為y=k′x+b′；
∴

-8k′+b′=-m 4k′+b′=-m

∴

k′= 1 2 b′=4-m

∵點(diǎn)O為使OA₁+OD₁最短的點(diǎn)，
∴b′=4-m=0
∴m=4，
即將拋物線向下平移了4個(gè)單位；
∴y+4=-

3

8

x²-3x，即此時(shí)的解析式為y=-

3

8

x²-3x-4．